Номер 292, страница 71 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

292. Основание прямой призмы — равнобедренный треугольник с основанием $a$ и углом $\alpha$ при вершине. Диагональ боковой грани призмы, содержащей основащей основание равнобедренного треугольника, наклонена к плоскости основания под углом $\beta$. Найдите объём цилиндра, описанного около призмы.

292. Основание прямой призмы — равнобедренный треугольник с основанием $a$ и углом $\alpha$ при вершине. Диагональ боковой грани призмы, содержащей основание равнобедренного треугольника, наклонена к плоскости основания под углом $\beta$. Найдите объём цилиндра, описанного около призмы.

Для нахождения объёма цилиндра, описанного около призмы, необходимо найти его высоту $H$ и радиус основания $R$. Объём вычисляется по формуле $V = \pi R^2 H$.

1. Нахождение высоты цилиндра H

Так как призма прямая, а цилиндр описан около неё, высота цилиндра $H$ совпадает с высотой (боковым ребром) призмы. Рассмотрим боковую грань призмы, которая содержит основание $a$ равнобедренного треугольника. Эта грань представляет собой прямоугольник со сторонами $a$ и $H$. Диагональ этой грани, её проекция на плоскость основания (которая совпадает со стороной $a$) и боковое ребро призмы $H$ образуют прямоугольный треугольник. Угол между диагональю и её проекцией по условию равен $\beta$. В этом прямоугольном треугольнике катет $H$ является противолежащим углу $\beta$, а катет $a$ — прилежащим. Следовательно, мы можем использовать тангенс угла:
$\tan(\beta) = \frac{H}{a}$
Отсюда выражаем высоту:
$H = a \cdot \tan(\beta)$

2. Нахождение радиуса основания цилиндра R

Основанием цилиндра является круг, описанный около основания призмы. Таким образом, радиус основания цилиндра $R$ — это радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника в основании призмы. Этот треугольник имеет основание $a$ и угол при вершине (противолежащий основанию) $\alpha$. Для нахождения радиуса описанной окружности воспользуемся следствием из теоремы синусов для треугольника:
$\frac{a}{\sin(\alpha)} = 2R$
Отсюда выражаем радиус:
$R = \frac{a}{2 \sin(\alpha)}$

3. Вычисление объёма цилиндра V

Подставим найденные значения высоты $H$ и радиуса $R$ в формулу объёма цилиндра $V = \pi R^2 H$:
$V = \pi \cdot \left(\frac{a}{2 \sin(\alpha)}\right)^2 \cdot (a \tan(\beta))$
$V = \pi \cdot \frac{a^2}{4 \sin^2(\alpha)} \cdot a \tan(\beta)$
$V = \frac{\pi a^3 \tan(\beta)}{4 \sin^2(\alpha)}$

Ответ: $V = \frac{\pi a^3 \tan(\beta)}{4 \sin^2(\alpha)}$