Номер 291, страница 71 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

291. Основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см. Угол между диагональю боковой грани, содержащей гипотенузу основания, и плоскостью основания равен $60^\circ$. Найдите объём цилиндра, описанного около данной призмы.

291. Основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см. Угол между диагональю боковой грани, содержащей гипотенузу основания, и плоскостью основания равен 60°. Найдите объём цилиндра, описанного около данной призмы.

Для того чтобы найти объём цилиндра, описанного около прямой призмы, необходимо определить радиус его основания $R$ и высоту $H$. Объём цилиндра вычисляется по формуле $V = \pi R^2 H$.

Поскольку цилиндр описан около прямой призмы, их высоты совпадают, а основание цилиндра представляет собой окружность, описанную около основания призмы.

1. Нахождение радиуса основания цилиндра.
Основанием призмы является прямоугольный треугольник с катетами $a = 6$ см и $b = 8$ см. Найдем его гипотенузу $c$ по теореме Пифагора:
$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ см.

Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, находится на середине гипотенузы, а ее радиус $R$ равен половине длины гипотенузы. Таким образом, радиус основания цилиндра равен:
$R = \frac{c}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см.

2. Нахождение высоты цилиндра.
Высота цилиндра $H$ равна высоте призмы. Рассмотрим боковую грань призмы, содержащую гипотенузу $c$. Эта грань является прямоугольником со сторонами $c$ и $H$. Диагональ этой грани, сама гипотенуза $c$ и боковое ребро призмы (высота $H$) образуют прямоугольный треугольник.

Угол между диагональю боковой грани и плоскостью основания по условию равен $60^\circ$. В данном случае, это угол между диагональю и гипотенузой $c$ (которая является проекцией диагонали на плоскость основания). В образовавшемся прямоугольном треугольнике с катетами $H$ и $c$, мы можем найти $H$ через тангенс этого угла:
$\tan(60^\circ) = \frac{H}{c}$
Отсюда выражаем высоту $H$:
$H = c \cdot \tan(60^\circ) = 10 \cdot \sqrt{3} = 10\sqrt{3}$ см.

3. Вычисление объёма цилиндра.
Подставим найденные значения радиуса $R = 5$ см и высоты $H = 10\sqrt{3}$ см в формулу объёма цилиндра:
$V = \pi R^2 H = \pi \cdot (5)^2 \cdot 10\sqrt{3} = \pi \cdot 25 \cdot 10\sqrt{3} = 250\pi\sqrt{3}$ см³.

Ответ: $250\pi\sqrt{3}$ см³.