Номер 296, страница 71 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

296. Образующая конуса равна $a$ и наклонена к плоскости его основания под углом $45^{\circ}$. Найдите объём конуса.

296. Образующая конуса равна $a$ и наклонена к плоскости его основания под углом $45^\circ$. Найдите объём конуса.

Для нахождения объёма конуса используется формула $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ – площадь основания, а $H$ – высота конуса. Так как основанием конуса является круг, его площадь равна $S_{осн} = \pi R^2$, где $R$ – радиус основания. Таким образом, формула для объёма конуса имеет вид:$V = \frac{1}{3} \pi R^2 H$.

Рассмотрим осевое сечение конуса. Оно представляет собой прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса $H$ (катет), радиусом основания $R$ (катет) и образующей $L$ (гипотенуза).

По условию задачи, длина образующей равна $a$, то есть $L = a$. Угол наклона образующей к плоскости основания – это угол между образующей $L$ и радиусом $R$ в этом прямоугольном треугольнике. Этот угол равен $45^\circ$.

В прямоугольном треугольнике с гипотенузой $L$ и острым углом $45^\circ$ катеты $H$ и $R$ связаны с гипотенузой следующими соотношениями:$H = L \cdot \sin(45^\circ)$$R = L \cdot \cos(45^\circ)$

Подставим известные значения $L=a$ и значения тригонометрических функций $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$:$H = a \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$$R = a \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$Поскольку угол равен $45^\circ$, то рассматриваемый прямоугольный треугольник является равнобедренным, и его катеты равны: $H=R$.

Теперь подставим найденные выражения для $H$ и $R$ в формулу объёма конуса:$V = \frac{1}{3} \pi R^2 H = \frac{1}{3} \pi \left( a \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 \left( a \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$

Выполним вычисления:$V = \frac{1}{3} \pi \left( \frac{a^2 \cdot (\sqrt{2})^2}{2^2} \right) \left( a \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$$V = \frac{1}{3} \pi \left( \frac{a^2 \cdot 2}{4} \right) \left( \frac{a\sqrt{2}}{2} \right)$$V = \frac{1}{3} \pi \left( \frac{a^2}{2} \right) \left( \frac{a\sqrt{2}}{2} \right)$$V = \frac{\pi a^3 \sqrt{2}}{3 \cdot 2 \cdot 2}$$V = \frac{\pi a^3 \sqrt{2}}{12}$

Ответ: $V = \frac{\pi a^3 \sqrt{2}}{12}$