Номер 294, страница 71 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

294. Основанием прямой призмы является ромб со стороной $a$ и острым углом $\alpha$. Большая диагональ призмы образует с плоскостью основания угол $\beta$. Найдите объём цилиндра, вписанного в призму.

294. Основанием прямой призмы является ромб со стороной $a$ и острым углом $\alpha$. Большая диагональ призмы образует с плоскостью основания угол $\beta$. Найдите объём цилиндра, вписанного в призму.

Объём вписанного цилиндра находится по формуле $V = \pi r^2 H$, где $r$ — это радиус основания цилиндра, а $H$ — его высота.

Так как цилиндр вписан в прямую призму, его высота $H$ равна высоте призмы, а его основание (окружность) вписано в основание призмы (ромб).

Радиус $r$ окружности, вписанной в ромб, равен половине высоты ромба $h_{ромба}$. Высоту ромба можно выразить через его сторону $a$ и острый угол $\alpha$: $h_{ромба} = a \sin(\alpha)$.Следовательно, радиус основания цилиндра равен:$r = \frac{h_{ромба}}{2} = \frac{a \sin(\alpha)}{2}$.

Высоту призмы $H$ найдём из прямоугольного треугольника, который образован большей диагональю призмы, её проекцией на основание (которая является большей диагональю ромба $d_{б}$) и боковым ребром призмы (равным высоте $H$). По условию, угол между диагональю призмы и плоскостью основания равен $\beta$.Из соотношений в этом прямоугольном треугольнике имеем: $H = d_{б} \cdot \tan(\beta)$.

Найдём большую диагональ ромба $d_{б}$. Её можно найти по теореме косинусов для треугольника, образованного двумя сторонами ромба $a$ и тупым углом $(180^\circ - \alpha)$, лежащим против этой диагонали:$d_{б}^2 = a^2 + a^2 - 2a^2 \cos(180^\circ - \alpha) = 2a^2(1 + \cos\alpha)$.Используя формулу косинуса двойного угла в виде $1 + \cos\alpha = 2\cos^2(\frac{\alpha}{2})$, получаем:$d_{б}^2 = 2a^2 \cdot 2\cos^2(\frac{\alpha}{2}) = 4a^2\cos^2(\frac{\alpha}{2})$.Отсюда, $d_{б} = 2a \cos(\frac{\alpha}{2})$.

Теперь можем найти высоту призмы:$H = 2a \cos(\frac{\alpha}{2}) \tan(\beta)$.

Подставим найденные выражения для радиуса $r$ и высоты $H$ в формулу объёма цилиндра:$V = \pi r^2 H = \pi \left( \frac{a \sin(\alpha)}{2} \right)^2 \cdot \left( 2a \cos(\frac{\alpha}{2}) \tan(\beta) \right)$.

Упростим полученное выражение:$V = \pi \cdot \frac{a^2 \sin^2(\alpha)}{4} \cdot 2a \cos(\frac{\alpha}{2}) \tan(\beta) = \frac{\pi a^3 \sin^2(\alpha) \cos(\frac{\alpha}{2}) \tan(\beta)}{2}$.

Ответ: $V = \frac{1}{2}\pi a^3 \sin^2(\alpha) \cos(\frac{\alpha}{2}) \tan(\beta)$.