Номер 289, страница 71 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

289. Объем цилиндра равен $V$. Отрезок, соединяющий центр верхнего основания цилиндра с точкой окружности нижнего основания, образует с плоскостью основания угол $\phi$. Найдите площадь осевого сечения цилиндра.

289. Объём цилиндра равен $V$. Отрезок, соединяющий центр верхнего основания цилиндра с точкой окружности нижнего основания, образует с плоскостью основания угол $\varphi$. Найдите площадь осевого сечения цилиндра.

Пусть $R$ — радиус основания цилиндра, $H$ — его высота, а $V$ — объем. Площадь осевого сечения $S_{ос}$ находится по формуле $S_{ос} = 2RH$. Объем цилиндра равен $V = \pi R^2 H$.

Отрезок, соединяющий центр верхнего основания с точкой окружности нижнего основания, является гипотенузой прямоугольного треугольника. Катетами этого треугольника являются высота цилиндра $H$ и радиус основания $R$. Угол $φ$, который этот отрезок образует с плоскостью основания, — это угол между гипотенузой и катетом $R$.

Из определения тангенса в этом прямоугольном треугольнике следует соотношение: $\tan(φ) = \frac{H}{R}$

Из этого соотношения выразим высоту $H$: $H = R \tan(φ)$

Подставим это выражение в формулу объема, чтобы выразить радиус $R$ через известные величины $V$ и $φ$: $V = \pi R^2 (R \tan(φ)) = \pi R^3 \tan(φ)$

Отсюда находим $R^3$: $R^3 = \frac{V}{\pi \tan(φ)}$

Тогда радиус равен: $R = \sqrt[3]{\frac{V}{\pi \tan(φ)}}$

Теперь найдем высоту $H$: $H = R \tan(φ) = \sqrt[3]{\frac{V}{\pi \tan(φ)}} \cdot \tan(φ) = \sqrt[3]{\frac{V \tan^3(φ)}{\pi \tan(φ)}} = \sqrt[3]{\frac{V \tan^2(φ)}{\pi}}$

Наконец, вычислим площадь осевого сечения, подставив найденные выражения для $R$ и $H$: $S_{ос} = 2RH = 2 \cdot \sqrt[3]{\frac{V}{\pi \tan(φ)}} \cdot \sqrt[3]{\frac{V \tan^2(φ)}{\pi}} = 2 \sqrt[3]{\frac{V \cdot V \tan^2(φ)}{\pi \tan(φ) \cdot \pi}} = 2 \sqrt[3]{\frac{V^2 \tan(φ)}{\pi^2}}$

Ответ: $2 \sqrt[3]{\frac{V^2 \tan(φ)}{\pi^2}}$