Номер 288, страница 71 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

288. В нижнем основании цилиндра проведена хорда, длина которой равна $a$. Эту хорду видно из центра нижнего основания под углом $\alpha$, а из центра верхнего основания — под углом $\beta$. Найдите объём цилиндра.

288. В нижнем основании цилиндра проведена хорда, длина которой равна $a$. Эту хорду видно из центра нижнего основания под углом $\alpha$, а из центра верхнего основания — под углом $\beta$. Найдите объём цилиндра.

Пусть $R$ — радиус основания цилиндра, а $H$ — его высота. Объем цилиндра вычисляется по формуле $V = \pi R^2 H$. Для решения задачи необходимо выразить $R$ и $H$ через заданные параметры $a$, $\alpha$ и $\beta$.

1. Найдем радиус основания $R$.
Рассмотрим нижнее основание цилиндра. Пусть $O_1$ — его центр, а $AB$ — хорда длиной $a$. По условию, центральный угол, опирающийся на эту хорду, равен $\alpha$, то есть $\angle AO_1B = \alpha$.Треугольник $\triangle AO_1B$ является равнобедренным, так как $O_1A = O_1B = R$. Проведем в нем высоту $O_1M$ к основанию $AB$. Эта высота также является медианой и биссектрисой.Таким образом, $M$ — середина хорды $AB$, и $AM = a/2$. Угол $\angle AO_1M = \alpha/2$.Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AO_1M$. Из соотношения сторон и углов имеем:$\sin(\angle AO_1M) = \frac{AM}{O_1A}$$\sin(\frac{\alpha}{2}) = \frac{a/2}{R}$Отсюда выражаем радиус основания:$R = \frac{a}{2\sin(\frac{\alpha}{2})}$Следовательно, площадь основания $S_{осн} = \pi R^2 = \pi \frac{a^2}{4\sin^2(\frac{\alpha}{2})}$.

2. Найдем высоту цилиндра $H$.
Пусть $O_2$ — центр верхнего основания. По условию, хорду $AB$ видно из точки $O_2$ под углом $\beta$, то есть $\angle AO_2B = \beta$.Рассмотрим треугольник $\triangle AO_2B$. Он также равнобедренный, так как отрезки $O_2A$ и $O_2B$ равны. Проведем в нем высоту $O_2M$ к основанию $AB$. $M$ — та же середина хорды $AB$.В прямоугольном треугольнике $\triangle AO_2M$ угол $\angle AO_2M = \beta/2$.Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle O_1O_2M$. Его катетами являются высота цилиндра $H=O_1O_2$ и отрезок $O_1M$, соединяющий центр нижнего основания с серединой хорды. Гипотенузой является отрезок $O_2M$.По теореме Пифагора: $O_2M^2 = O_1M^2 + H^2$, откуда $H^2 = O_2M^2 - O_1M^2$.Найдем длины катетов $O_1M$ и $O_2M$ из треугольников $\triangle AO_1M$ и $\triangle AO_2M$ соответственно:Из $\triangle AO_1M$:$\text{ctg}(\frac{\alpha}{2}) = \frac{O_1M}{AM} \implies O_1M = AM \cdot \text{ctg}(\frac{\alpha}{2}) = \frac{a}{2}\text{ctg}(\frac{\alpha}{2})$Из $\triangle AO_2M$:$\text{ctg}(\frac{\beta}{2}) = \frac{O_2M}{AM} \implies O_2M = AM \cdot \text{ctg}(\frac{\beta}{2}) = \frac{a}{2}\text{ctg}(\frac{\beta}{2})$Теперь подставим эти выражения в формулу для $H^2$:$H^2 = \left(\frac{a}{2}\text{ctg}(\frac{\beta}{2})\right)^2 - \left(\frac{a}{2}\text{ctg}(\frac{\alpha}{2})\right)^2 = \frac{a^2}{4}\left(\text{ctg}^2\frac{\beta}{2} - \text{ctg}^2\frac{\alpha}{2}\right)$Отсюда высота цилиндра:$H = \frac{a}{2}\sqrt{\text{ctg}^2\frac{\beta}{2} - \text{ctg}^2\frac{\alpha}{2}}$(Заметим, что так как точка $O_2$ дальше от хорды, чем $O_1$, угол $\beta$ меньше угла $\alpha$, что обеспечивает положительность подкоренного выражения).

3. Найдем объем цилиндра $V$.
Подставим найденные выражения для $R^2$ и $H$ в формулу объема:$V = \pi R^2 H = \pi \cdot \frac{a^2}{4\sin^2(\frac{\alpha}{2})} \cdot \frac{a}{2}\sqrt{\text{ctg}^2\frac{\beta}{2} - \text{ctg}^2\frac{\alpha}{2}}$$V = \frac{\pi a^3}{8\sin^2(\frac{\alpha}{2})}\sqrt{\text{ctg}^2\frac{\beta}{2} - \text{ctg}^2\frac{\alpha}{2}}$

Ответ: $V = \frac{\pi a^3}{8\sin^2(\frac{\alpha}{2})}\sqrt{\text{ctg}^2\frac{\beta}{2} - \text{ctg}^2\frac{\alpha}{2}}$