Номер 293, страница 71 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

293. Сторона основания правильной треугольной призмы равна 4 см, а боковое ребро — 3 см. Найдите объём цилиндра, вписанного в призму.

293. Сторона основания правильной треугольной призмы равна 4 см, а боковое ребро — 3 см. Найдите объём цилиндра, вписанного в призму.

Объём цилиндра вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h = \pi R^2 h$, где $R$ — радиус основания цилиндра, а $h$ — его высота.

1. Определение параметров вписанного цилиндра

Поскольку цилиндр вписан в правильную треугольную призму, его высота $h$ равна высоте призмы, а основание цилиндра (окружность) вписано в основание призмы (правильный треугольник).

Высота призмы равна её боковому ребру, следовательно, высота цилиндра:

$h = 3$ см.

2. Нахождение радиуса основания цилиндра

Радиус $R$ основания цилиндра равен радиусу окружности, вписанной в правильный треугольник, который является основанием призмы. Сторона этого треугольника по условию $a = 4$ см.

Формула для радиуса вписанной в правильный треугольник окружности:

$R = \frac{a}{2\sqrt{3}}$

Подставим значение стороны $a = 4$ см:

$R = \frac{4}{2\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$ см.

Для удобства вычислений избавимся от иррациональности в знаменателе:

$R = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$ см.

3. Вычисление объёма цилиндра

Теперь, зная радиус $R = \frac{2\sqrt{3}}{3}$ см и высоту $h = 3$ см, вычислим объём цилиндра:

$V = \pi R^2 h = \pi \left(\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)^2 \cdot 3$

$V = \pi \cdot \frac{2^2 \cdot (\sqrt{3})^2}{3^2} \cdot 3$

$V = \pi \cdot \frac{4 \cdot 3}{9} \cdot 3$

$V = \pi \cdot \frac{12}{9} \cdot 3$

$V = \pi \cdot \frac{4}{3} \cdot 3 = 4\pi$ см³.

Ответ: $4\pi$ см³.