Номер 286, страница 70 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

286. Прямоугольник, одна сторона которого равна 3 см, а диагональ $-$ $\sqrt{13}$ см, вращается вокруг меньшей стороны. Найдите объём тела вращения.

286. Прямоугольник, одна сторона которого равна 3 см, а диагональ – $\sqrt{13}$ см, вращается вокруг меньшей стороны. Найдите объём тела вращения.

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$, а диагональ равна $d$. По условию задачи, одна из сторон равна 3 см, а диагональ $d = \sqrt{13}$ см.

1. Найдем неизвестную сторону прямоугольника. Воспользуемся теоремой Пифагора, согласно которой сумма квадратов сторон прямоугольника равна квадрату его диагонали: $a^2 + b^2 = d^2$.
Пусть известная сторона $a = 3$ см. Подставим известные значения в формулу:
$3^2 + b^2 = (\sqrt{13})^2$
$9 + b^2 = 13$
$b^2 = 13 - 9$
$b^2 = 4$
$b = \sqrt{4} = 2$ см.

Таким образом, стороны прямоугольника равны 2 см и 3 см.

2. Определим параметры тела вращения. Вращение происходит вокруг меньшей стороны. Сравнивая стороны, находим, что меньшая сторона равна 2 см.
При вращении прямоугольника вокруг одной из его сторон образуется цилиндр. Высота этого цилиндра ($h$) будет равна стороне, вокруг которой происходит вращение, а радиус его основания ($r$) — другой стороне. Следовательно, для нашего тела вращения:
Высота $h = 2$ см (меньшая сторона).
Радиус $r = 3$ см (большая сторона).

3. Найдем объём полученного цилиндра. Формула для вычисления объёма цилиндра: $V = \pi r^2 h$.
Подставим значения высоты и радиуса:
$V = \pi \cdot (3 \text{ см})^2 \cdot 2 \text{ см}$
$V = \pi \cdot 9 \text{ см}^2 \cdot 2 \text{ см}$
$V = 18\pi$ см³.

Ответ: $18\pi$ см³.