Номер 279, страница 70 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

279. Высота правильной треугольной пирамиды равна 10 см. Плоскость, проходящая параллельно основанию пирамиды, отсекает от неё усечённую пирамиду, стороны оснований которой равны 6 см и 3 см. Найдите объём усечённой пирамиды.

279. Высота правильной треугольной пирамиды равна 10 см. Плоскость, проходящая параллельно основанию пирамиды, отсекает от неё усечённую пирамиду, стороны оснований которой равны 6 см и 3 см. Найдите объём усечённой пирамиды.

Для нахождения объёма усечённой пирамиды воспользуемся формулой:

$V = \frac{1}{3}h(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2})$

где $h$ — высота усечённой пирамиды, $S_1$ и $S_2$ — площади её оснований.

1. Найдём площади оснований.

Основаниями являются правильные (равносторонние) треугольники. Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле: $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

Площадь большего основания ($S_1$) со стороной $a_1 = 6$ см:

$S_1 = \frac{6^2\sqrt{3}}{4} = \frac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}$ см².

Площадь меньшего основания ($S_2$) со стороной $a_2 = 3$ см:

$S_2 = \frac{3^2\sqrt{3}}{4} = \frac{9\sqrt{3}}{4}$ см².

2. Найдём высоту усечённой пирамиды.

Плоскость, параллельная основанию, отсекает от исходной пирамиды меньшую пирамиду, подобную исходной. Коэффициент подобия $k$ равен отношению сторон оснований:

$k = \frac{a_2}{a_1} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

Отношение высот подобных пирамид также равно коэффициенту подобия. Пусть $H$ — высота исходной пирамиды, а $H_{отс}$ — высота отсечённой (малой) пирамиды.

$H = 10$ см.

$\frac{H_{отс}}{H} = k \Rightarrow H_{отс} = H \cdot k = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5$ см.

Высота усечённой пирамиды $h$ — это разность высот исходной и отсечённой пирамид:

$h = H - H_{отс} = 10 - 5 = 5$ см.

3. Вычислим объём усечённой пирамиды.

Подставим найденные значения $h, S_1$ и $S_2$ в формулу объёма:

$V = \frac{1}{3} \cdot 5 \cdot \left(9\sqrt{3} + \frac{9\sqrt{3}}{4} + \sqrt{9\sqrt{3} \cdot \frac{9\sqrt{3}}{4}}\right)$

Сначала вычислим корень:

$\sqrt{9\sqrt{3} \cdot \frac{9\sqrt{3}}{4}} = \sqrt{\frac{81 \cdot 3}{4}} = \sqrt{\frac{243}{4}} = \frac{9\sqrt{3}}{2}$

Теперь подставим это значение обратно в формулу:

$V = \frac{5}{3} \cdot \left(9\sqrt{3} + \frac{9\sqrt{3}}{4} + \frac{9\sqrt{3}}{2}\right)$

Вынесем $9\sqrt{3}$ за скобки:

$V = \frac{5}{3} \cdot 9\sqrt{3} \cdot \left(1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{2}\right)$

Приведём дроби в скобках к общему знаменателю:

$1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{4}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2}{4} = \frac{7}{4}$

Выполним окончательное вычисление:

$V = \frac{5 \cdot 9\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{7}{4} = 5 \cdot 3\sqrt{3} \cdot \frac{7}{4} = 15\sqrt{3} \cdot \frac{7}{4} = \frac{105\sqrt{3}}{4}$ см³.

Ответ: $\frac{105\sqrt{3}}{4}$ см³.