Номер 283, страница 70 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

283. В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 14 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если её перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 5 раз меньше диаметра первого?

283. В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 14 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если её перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 5 раз меньше диаметра первого?

Обозначим параметры первого цилиндрического сосуда индексом 1, а второго — индексом 2.

Пусть $V_1$ и $V_2$ — объемы жидкости в первом и втором сосудах, $h_1$ и $h_2$ — уровни (высоты) жидкости, а $d_1$ и $d_2$ — диаметры оснований сосудов.

По условию задачи, уровень жидкости в первом сосуде $h_1 = 14$ см. Диаметр второго сосуда в 5 раз меньше диаметра первого, что можно записать как $d_2 = \frac{d_1}{5}$.

Объем жидкости, занимающей часть цилиндра, вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — это площадь основания цилиндра, а $h$ — высота уровня жидкости.

Площадь основания цилиндра (круга) зависит от его диаметра $d$ и вычисляется по формуле: $S_{осн} = \pi r^2 = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$.

Тогда объем жидкости в первом сосуде равен: $V_1 = S_1 \cdot h_1 = \frac{\pi d_1^2}{4} \cdot h_1$.

Когда жидкость переливают во второй сосуд, ее объем не меняется ($V_2 = V_1$), но высота уровня жидкости $h_2$ становится другой. Объем жидкости во втором сосуде: $V_2 = S_2 \cdot h_2 = \frac{\pi d_2^2}{4} \cdot h_2$.

Приравняем объемы: $V_1 = V_2$ $\frac{\pi d_1^2}{4} \cdot h_1 = \frac{\pi d_2^2}{4} \cdot h_2$.

Сократим обе части уравнения на общий множитель $\frac{\pi}{4}$: $d_1^2 \cdot h_1 = d_2^2 \cdot h_2$.

Теперь подставим в это равенство известное соотношение диаметров $d_2 = \frac{d_1}{5}$: $d_1^2 \cdot h_1 = \left(\frac{d_1}{5}\right)^2 \cdot h_2$.

Возведем в квадрат: $d_1^2 \cdot h_1 = \frac{d_1^2}{25} \cdot h_2$.

Сократим обе части на $d_1^2$ (так как диаметр сосуда не может быть равен нулю): $h_1 = \frac{h_2}{25}$.

Из этого соотношения выразим искомую высоту $h_2$: $h_2 = 25 \cdot h_1$.

Подставим известное значение высоты в первом сосуде $h_1 = 14$ см: $h_2 = 25 \cdot 14 = 350$ см.

Ответ: 350 см.