Номер 272, страница 69 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

272. Основанием пирамиды $DABC$ является треугольник $ABC$, в котором $\angle ACB = 90^\circ$, $BC = a$, $\angle ABC = \alpha$. Грани $DAC$ и $DAB$ перпендикулярны плоскости основания пирамиды, а грань $DBC$ наклонена к ней под углом $\varphi$. Найдите объём пирамиды.

272. Основанием пирамиды $DABC$ является треугольник $ABC$, в котором $\angle ACB = 90^\circ$, $BC = a$, $\angle ABC = \alpha$. Грани $DAC$ и $DAB$ перпендикулярны плоскости основания пирамиды, а грань $DBC$ наклонена к ней под углом $\varphi$. Найдите объём пирамиды.

Объем пирамиды $DABC$ вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot H$, где $S_{ABC}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

1. Определение высоты пирамиды.

По условию, грани $DAC$ и $DAB$ перпендикулярны плоскости основания $ABC$. Если две плоскости, пересекающиеся по прямой, перпендикулярны третьей плоскости, то их линия пересечения также перпендикулярна этой плоскости. Линией пересечения граней $DAC$ и $DAB$ является ребро $DA$. Следовательно, $DA$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$, и $DA$ является высотой пирамиды. Таким образом, $H = DA$.

2. Нахождение площади основания.

Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник $ABC$, в котором $\angle ACB = 90^\circ$, $BC = a$ и $\angle ABC = \alpha$. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. Найдем длину катета $AC$:

$\tan(\angle ABC) = \frac{AC}{BC} \Rightarrow \tan(\alpha) = \frac{AC}{a}$

Отсюда $AC = a \cdot \tan(\alpha)$.

Теперь можем найти площадь основания:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot a \cdot (a \tan(\alpha)) = \frac{1}{2}a^2 \tan(\alpha)$.

3. Нахождение высоты $H=DA$.

Грань $DBC$ наклонена к плоскости основания под углом $\phi$. Этот угол является двугранным углом при ребре $BC$. Для его нахождения построим линейный угол.

В плоскости основания $ABC$ проведем прямую, перпендикулярную ребру $BC$ в точке $C$. Этой прямой является катет $AC$, так как $\angle ACB = 90^\circ$.

Поскольку $DA$ — перпендикуляр к плоскости $ABC$, то $AC$ является проекцией наклонной $DC$ на эту плоскость. Так как проекция $AC$ перпендикулярна прямой $BC$, лежащей в плоскости, то и сама наклонная $DC$ перпендикулярна прямой $BC$ (по теореме о трех перпендикулярах).

Таким образом, угол $\angle DCA$ является линейным углом двугранного угла между гранью $DBC$ и основанием. По условию, $\angle DCA = \phi$.

Рассмотрим треугольник $DAC$. Так как $DA$ — высота пирамиды, то $DA \perp AC$, и треугольник $DAC$ — прямоугольный ($\angle DAC = 90^\circ$). В этом треугольнике:

$\tan(\angle DCA) = \frac{DA}{AC} \Rightarrow \tan(\phi) = \frac{H}{AC}$

Отсюда $H = DA = AC \cdot \tan(\phi)$. Подставим найденное ранее выражение для $AC$:

$H = (a \tan(\alpha)) \cdot \tan(\phi) = a \tan(\alpha) \tan(\phi)$.

4. Вычисление объема пирамиды.

Подставим найденные значения площади основания $S_{ABC}$ и высоты $H$ в формулу объема:

$V = \frac{1}{3} \cdot S_{ABC} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{1}{2}a^2 \tan(\alpha)\right) \cdot (a \tan(\alpha) \tan(\phi))$

$V = \frac{1}{6} a^3 \tan^2(\alpha) \tan(\phi)$.

Ответ: $V = \frac{1}{6} a^3 \tan^2(\alpha) \tan(\phi)$.