Страница 69 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

270. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник с боковой стороной 10 см и основанием 16 см. Боковые грани пирамиды, содержащие боковые стороны её основания, перпендикулярны плоскости основания, а третья грань наклонена к ней под углом 30°. Найдите объём пирамиды.

270. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник с боковой стороной 10 см и основанием 16 см. Боковые грани пирамиды, содержащие боковые стороны её основания, перпендикулярны плоскости основания, а третья грань наклонена к ней под углом 30°. Найдите объём пирамиды.

Пусть дана пирамида $SABC$, основанием которой является равнобедренный треугольник $ABC$, где $AB = BC = 10$ см — боковые стороны, а $AC = 16$ см — основание.

1. Найдем площадь основания пирамиды.

Для нахождения площади треугольника $ABC$ проведем высоту $BH$ к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой. Следовательно, $H$ — середина $AC$, и $AH = HC = \frac{AC}{2} = \frac{16}{2} = 8$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BHC$. По теореме Пифагора найдем высоту $BH$:
$BH = \sqrt{BC^2 - HC^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6$ см.

Теперь вычислим площадь основания $S_{осн}$:
$S_{осн} = S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 6 = 48$ см².

2. Найдем высоту пирамиды.

По условию, боковые грани $SAB$ и $SBC$ перпендикулярны плоскости основания $ABC$. Если две плоскости, пересекающиеся по прямой, перпендикулярны третьей плоскости, то их линия пересечения также перпендикулярна этой плоскости. Линией пересечения граней $SAB$ и $SBC$ является боковое ребро $SB$. Таким образом, ребро $SB$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$, и его длина является высотой пирамиды $H$. То есть, $H = SB$.

Третья грань $SAC$ наклонена к плоскости основания под углом $30^\circ$. Угол между плоскостями $(SAC)$ и $(ABC)$ — это двугранный угол при ребре $AC$. Для его измерения построим линейный угол. У нас уже есть перпендикуляр $BH$ к ребру $AC$ в плоскости основания. Соединим точки $S$ и $H$. Так как $SB$ — перпендикуляр к плоскости $(ABC)$, а $BH$ — проекция наклонной $SH$ на эту плоскость, и $BH \perp AC$, то по теореме о трех перпендикулярах наклонная $SH$ также перпендикулярна $AC$ ($SH \perp AC$).

Следовательно, угол $\angle SHB$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $(SAC)$ и $(ABC)$, и по условию $\angle SHB = 30^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SBH$ (угол $\angle SBH = 90^\circ$, так как $SB \perp (ABC)$). В этом треугольнике катет $BH = 6$ см, а катет $SB = H$. Из соотношений в прямоугольном треугольнике имеем:
$\text{tg}(\angle SHB) = \frac{SB}{BH}$
$\text{tg}(30^\circ) = \frac{H}{6}$

Отсюда находим высоту пирамиды $H$:
$H = 6 \cdot \text{tg}(30^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$ см.

3. Найдем объем пирамиды.

Объем пирамиды вычисляется по формуле:
$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$

Подставим найденные значения площади основания и высоты:
$V = \frac{1}{3} \cdot 48 \cdot 2\sqrt{3} = 16 \cdot 2\sqrt{3} = 32\sqrt{3}$ см³.

Ответ: $32\sqrt{3}$ см³.

271. Грани $DAB$ и $DBC$ пирамиды $DABC$ перпендикулярны плоскости основания. Найдите объём пирамиды, если $AB = 20$ см, $AC = 21$ см, $BC = 13$ см, а расстояние от вершины $D$ до прямой $AC$ равно $20$ см.

271. Грани DAB и DBC пирамиды DABC перпендикулярны плоскости основания. Найдите объём пирамиды, если $AB = 20$ см, $AC = 21$ см, $BC = 13$ см, а расстояние от вершины D до прямой AC равно 20 см.

Объём пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды. Для решения задачи необходимо найти площадь основания $S_{ABC}$ и высоту пирамиды $H$.

По условию, грани $(DAB)$ и $(DBC)$ перпендикулярны плоскости основания $(ABC)$. Если две плоскости перпендикулярны третьей плоскости, то их линия пересечения также перпендикулярна этой плоскости. Линией пересечения граней $(DAB)$ и $(DBC)$ является ребро $DB$. Следовательно, ребро $DB$ перпендикулярно плоскости основания $(ABC)$, и $DB$ является высотой пирамиды. Таким образом, $H = DB$.

1. Нахождение площади основания

Основанием пирамиды является треугольник $ABC$ со сторонами $AB = 20$ см, $AC = 21$ см и $BC = 13$ см. Поскольку известны все три стороны треугольника, его площадь удобно вычислить по формуле Герона:

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ — полупериметр треугольника.

Сначала найдем полупериметр $p$:

$p = \frac{AB + AC + BC}{2} = \frac{20 + 21 + 13}{2} = \frac{54}{2} = 27$ см.

Теперь вычислим площадь основания $S_{ABC}$:

$S_{ABC} = \sqrt{27(27-20)(27-21)(27-13)} = \sqrt{27 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 14} = \sqrt{(3 \cdot 9) \cdot 7 \cdot (2 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 7)} = \sqrt{9^2 \cdot 2^2 \cdot 7^2} = 3 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 7 = 126$ см$^2$.

2. Нахождение высоты пирамиды

Расстояние от вершины $D$ до прямой $AC$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $D$ на прямую $AC$. Обозначим основание этого перпендикуляра как точку $K$. Тогда $DK = 20$ см и $DK \perp AC$.

Рассмотрим ребро $DB$ (высота пирамиды), наклонную $DK$ и её проекцию $BK$ на плоскость основания $(ABC)$. Согласно теореме о трех перпендикулярах, если наклонная ($DK$) перпендикулярна прямой на плоскости ($AC$), то и её проекция ($BK$) на эту плоскость также перпендикулярна этой прямой. Следовательно, $BK \perp AC$, и $BK$ является высотой треугольника $ABC$, проведенной к стороне $AC$.

Площадь треугольника $ABC$ можно также выразить через высоту $BK$ и основание $AC$:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} AC \cdot BK$.

Из этого выражения найдем длину высоты $BK$:

$126 = \frac{1}{2} \cdot 21 \cdot BK \implies BK = \frac{126 \cdot 2}{21} = \frac{252}{21} = 12$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $DBK$. Угол $\angle DBK = 90^{\circ}$, поскольку высота пирамиды $DB$ перпендикулярна любой прямой в плоскости основания, включая $BK$. По теореме Пифагора:

$DK^2 = DB^2 + BK^2$.

Отсюда найдем высоту пирамиды $H = DB$:

$DB^2 = DK^2 - BK^2 = 20^2 - 12^2 = 400 - 144 = 256$.

$DB = \sqrt{256} = 16$ см.

3. Нахождение объёма пирамиды

Зная площадь основания $S_{ABC} = 126$ см$^2$ и высоту $H = 16$ см, мы можем вычислить объём пирамиды $DABC$:

$V = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 126 \cdot 16 = 42 \cdot 16 = 672$ см$^3$.

Ответ: $672$ см$^3$.

272. Основанием пирамиды $DABC$ является треугольник $ABC$, в котором $\angle ACB = 90^\circ$, $BC = a$, $\angle ABC = \alpha$. Грани $DAC$ и $DAB$ перпендикулярны плоскости основания пирамиды, а грань $DBC$ наклонена к ней под углом $\varphi$. Найдите объём пирамиды.

272. Основанием пирамиды $DABC$ является треугольник $ABC$, в котором $\angle ACB = 90^\circ$, $BC = a$, $\angle ABC = \alpha$. Грани $DAC$ и $DAB$ перпендикулярны плоскости основания пирамиды, а грань $DBC$ наклонена к ней под углом $\varphi$. Найдите объём пирамиды.

Объем пирамиды $DABC$ вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot H$, где $S_{ABC}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

1. Определение высоты пирамиды.

По условию, грани $DAC$ и $DAB$ перпендикулярны плоскости основания $ABC$. Если две плоскости, пересекающиеся по прямой, перпендикулярны третьей плоскости, то их линия пересечения также перпендикулярна этой плоскости. Линией пересечения граней $DAC$ и $DAB$ является ребро $DA$. Следовательно, $DA$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$, и $DA$ является высотой пирамиды. Таким образом, $H = DA$.

2. Нахождение площади основания.

Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник $ABC$, в котором $\angle ACB = 90^\circ$, $BC = a$ и $\angle ABC = \alpha$. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. Найдем длину катета $AC$:

$\tan(\angle ABC) = \frac{AC}{BC} \Rightarrow \tan(\alpha) = \frac{AC}{a}$

Отсюда $AC = a \cdot \tan(\alpha)$.

Теперь можем найти площадь основания:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot a \cdot (a \tan(\alpha)) = \frac{1}{2}a^2 \tan(\alpha)$.

3. Нахождение высоты $H=DA$.

Грань $DBC$ наклонена к плоскости основания под углом $\phi$. Этот угол является двугранным углом при ребре $BC$. Для его нахождения построим линейный угол.

В плоскости основания $ABC$ проведем прямую, перпендикулярную ребру $BC$ в точке $C$. Этой прямой является катет $AC$, так как $\angle ACB = 90^\circ$.

Поскольку $DA$ — перпендикуляр к плоскости $ABC$, то $AC$ является проекцией наклонной $DC$ на эту плоскость. Так как проекция $AC$ перпендикулярна прямой $BC$, лежащей в плоскости, то и сама наклонная $DC$ перпендикулярна прямой $BC$ (по теореме о трех перпендикулярах).

Таким образом, угол $\angle DCA$ является линейным углом двугранного угла между гранью $DBC$ и основанием. По условию, $\angle DCA = \phi$.

Рассмотрим треугольник $DAC$. Так как $DA$ — высота пирамиды, то $DA \perp AC$, и треугольник $DAC$ — прямоугольный ($\angle DAC = 90^\circ$). В этом треугольнике:

$\tan(\angle DCA) = \frac{DA}{AC} \Rightarrow \tan(\phi) = \frac{H}{AC}$

Отсюда $H = DA = AC \cdot \tan(\phi)$. Подставим найденное ранее выражение для $AC$:

$H = (a \tan(\alpha)) \cdot \tan(\phi) = a \tan(\alpha) \tan(\phi)$.

4. Вычисление объема пирамиды.

Подставим найденные значения площади основания $S_{ABC}$ и высоты $H$ в формулу объема:

$V = \frac{1}{3} \cdot S_{ABC} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{1}{2}a^2 \tan(\alpha)\right) \cdot (a \tan(\alpha) \tan(\phi))$

$V = \frac{1}{6} a^3 \tan^2(\alpha) \tan(\phi)$.

Ответ: $V = \frac{1}{6} a^3 \tan^2(\alpha) \tan(\phi)$.

273. Основанием пирамиды является квадрат со стороной $a$. Одна из боковых граней перпендикулярна плоскости основания и является равносторонним треугольником. Найдите объём пирамиды.

273. Основанием пирамиды является квадрат со стороной $a$. Одна из боковых граней перпендикулярна плоскости основания и является равносторонним треугольником. Найдите объём пирамиды.

Объём пирамиды вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

Основанием пирамиды является квадрат со стороной $a$, следовательно, площадь основания равна: $S_{осн} = a^2$.

Одна из боковых граней перпендикулярна плоскости основания и является равносторонним треугольником. Сторона этого треугольника, лежащая в основании, равна стороне квадрата, то есть $a$. Так как треугольник равносторонний, все его стороны равны $a$.

Высота пирамиды — это перпендикуляр, опущенный из вершины на плоскость основания. Поскольку боковая грань перпендикулярна плоскости основания, высота пирамиды будет совпадать с высотой этой боковой грани (равностороннего треугольника), проведённой к стороне, лежащей в основании.

Высоту $H$ равностороннего треугольника со стороной $a$ можно найти по формуле: $H = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Теперь, зная площадь основания и высоту, можем найти объём пирамиды: $V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot a^2 \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a^3\sqrt{3}}{6}$.

Ответ: $\frac{a^3\sqrt{3}}{6}$.

274. Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с катетом $a$ и прилежащим к нему углом $\beta$. Боковая грань пирамиды, содержащая сторону основания, противолежащую данному углу, перпендикулярна плоскости основания, а две другие грани образуют с плоскостью основания угол $\alpha$. Найдите объём пирамиды.

274. Основанием пирамиды является прямоугольный тре- угольник с катетом $a$ и прилежащим к нему углом $\beta$. Боковая грань пирамиды, содержащая сторону осно- вания, противолежащую данному углу, перпендику- лярна плоскости основания, а две другие грани обра- зуют с плоскостью основания угол $\alpha$. Найдите объём пирамиды.

Пусть основанием пирамиды $SABC$ является прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$. Согласно условию, один из катетов равен $a$, а прилежащий к нему острый угол равен $\beta$. Пусть катет $AC = a$, тогда $\angle CAB = \beta$.

Найдем второй катет $BC$ и площадь основания $S_{осн}$. Из прямоугольного треугольника $ABC$ имеем: $BC = AC \cdot \tan(\angle CAB) = a \tan(\beta)$. Площадь основания: $S_{осн} = \frac{1}{2} AC \cdot BC = \frac{1}{2} a \cdot (a \tan(\beta)) = \frac{1}{2} a^2 \tan(\beta)$.

В условии сказано, что боковая грань, содержащая сторону основания, противолежащую углу $\beta$ (то есть катет $BC$), перпендикулярна плоскости основания. Это означает, что плоскость $(SBC)$ перпендикулярна плоскости $(ABC)$. Следовательно, высота пирамиды $H$, опущенная из вершины $S$, лежит в плоскости $(SBC)$, и ее основание, точка $O$, находится на прямой $BC$. Таким образом, $H = SO$.

Две другие боковые грани, $(SAC)$ и $(SAB)$, образуют с плоскостью основания угол $\alpha$. Угол между плоскостью грани $(SAC)$ и плоскостью основания $(ABC)$ - это двугранный угол при ребре $AC$. Поскольку $O$ лежит на $BC$ и $\angle C = 90^\circ$, отрезок $OC$ перпендикулярен ребру $AC$. Высота $SO$ перпендикулярна плоскости основания, а значит, и прямой $OC$. Наклонная $SC$ соединяет точки $S$ и $C$. Таким образом, $\angle SCO$ является линейным углом данного двугранного угла, и $\angle SCO = \alpha$. Из прямоугольного треугольника $SOC$ находим высоту: $H = SO = OC \cdot \tan(\alpha)$.

Аналогично, угол между плоскостью грани $(SAB)$ и плоскостью основания $(ABC)$ - это двугранный угол при ребре $AB$. Опустим из точки $O$ перпендикуляр $OK$ на ребро $AB$. По теореме о трех перпендикулярах, наклонная $SK$ также будет перпендикулярна $AB$. Следовательно, $\angle SKO$ является линейным углом этого двугранного угла, и $\angle SKO = \alpha$. Из прямоугольного треугольника $SOK$ находим высоту: $H = SO = OK \cdot \tan(\alpha)$.

Из равенства двух выражений для высоты $H$ следует, что $OC \cdot \tan(\alpha) = OK \cdot \tan(\alpha)$, откуда $OC = OK$. Это означает, что точка $O$ на катете $BC$ равноудалена от сторон угла $\angle CAB$ (прямых $AC$ и $AB$). Следовательно, точка $O$ лежит на биссектрисе угла $A$.

Найдем длину отрезка $OC$. В треугольнике $ABC$ отрезок $AO$ является биссектрисой угла $A$. По свойству биссектрисы, $\frac{CO}{OB} = \frac{AC}{AB}$. Гипотенуза $AB = \frac{AC}{\cos(\beta)} = \frac{a}{\cos(\beta)}$. Подставляя известные значения, получаем: $\frac{CO}{OB} = \frac{a}{a/\cos(\beta)} = \cos(\beta)$. Так как $O$ лежит на $BC$, то $OB = BC - CO = a \tan(\beta) - CO$. Подставим это в пропорцию: $CO = (a \tan(\beta) - CO)\cos(\beta)$. $CO = a \tan(\beta)\cos(\beta) - CO\cos(\beta) = a\sin(\beta) - CO\cos(\beta)$. $CO(1 + \cos(\beta)) = a\sin(\beta)$. $CO = \frac{a\sin(\beta)}{1 + \cos(\beta)}$. Применим формулы половинного угла: $\sin(\beta) = 2\sin(\frac{\beta}{2})\cos(\frac{\beta}{2})$ и $1+\cos(\beta) = 2\cos^2(\frac{\beta}{2})$. $CO = \frac{a \cdot 2\sin(\frac{\beta}{2})\cos(\frac{\beta}{2})}{2\cos^2(\frac{\beta}{2})} = a \tan(\frac{\beta}{2})$.

Теперь мы можем найти высоту пирамиды: $H = OC \cdot \tan(\alpha) = a \tan(\frac{\beta}{2})\tan(\alpha)$.

Наконец, вычислим объем пирамиды по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$: $V = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{1}{2} a^2 \tan(\beta)\right) \cdot \left(a \tan(\frac{\beta}{2})\tan(\alpha)\right) = \frac{a^3}{6} \tan(\alpha) \tan(\beta) \tan(\frac{\beta}{2})$.

Ответ: $V = \frac{a^3}{6} \tan\alpha \tan\beta \tan\frac{\beta}{2}$.

275. Стороны оснований правильной усеченной треугольной пирамиды равны 2 см и 4 см, а высота — 5 см.

Найдите объём усеченной пирамиды.

275. Стороны оснований правильной усечённой треугольной пирамиды равны 2 см и 4 см, а высота — 5 см.

Найдите объём усечённой пирамиды.

Для нахождения объёма правильной усечённой треугольной пирамиды используется формула:

$V = \frac{1}{3}h(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2})$,

где $h$ — высота усечённой пирамиды, а $S_1$ и $S_2$ — площади её оснований.

В основании правильной треугольной пирамиды лежит равносторонний треугольник. Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

1. Найдём площадь большего основания ($S_1$).

Сторона большего основания $a_1 = 4$ см.

$S_1 = \frac{4^2\sqrt{3}}{4} = \frac{16\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3}$ см².

2. Найдём площадь меньшего основания ($S_2$).

Сторона меньшего основания $a_2 = 2$ см.

$S_2 = \frac{2^2\sqrt{3}}{4} = \frac{4\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}$ см².

3. Вычислим объём усечённой пирамиды.

Высота пирамиды $h = 5$ см. Подставим найденные значения площадей и высоту в формулу объёма:

$V = \frac{1}{3} \cdot 5 \cdot (4\sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}})$

$V = \frac{5}{3} \cdot (5\sqrt{3} + \sqrt{4 \cdot 3})$

$V = \frac{5}{3} \cdot (5\sqrt{3} + \sqrt{12})$

$V = \frac{5}{3} \cdot (5\sqrt{3} + 2\sqrt{3})$

$V = \frac{5}{3} \cdot (7\sqrt{3})$

$V = \frac{35\sqrt{3}}{3}$ см³.

Ответ: $\frac{35\sqrt{3}}{3}$ см³.

276. Сторона меньшего основания правильной усечённой четырёхугольной пирамиды равна 4 см, а боковое ребро равно 6 см и образует с плоскостью большего основания угол $45^{\circ}$. Найдите объём усечённой пирамиды.

276. Сторона меньшего основания правильной усечённой четырёхугольной пирамиды равна 4 см, а боковое ребро равно 6 см и образует с плоскостью большего основания угол $45^\circ$. Найдите объём усечённой пирамиды.

Объём усечённой пирамиды вычисляется по формуле:
$V = \frac{1}{3}H(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2})$,
где $H$ – высота пирамиды, $S_1$ и $S_2$ – площади большего и меньшего оснований.

В основании правильной усечённой четырёхугольной пирамиды лежат квадраты. Сторона меньшего основания $a_2 = 4$ см, поэтому его площадь $S_2 = a_2^2 = 4^2 = 16$ см².

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром ($l$), его проекцией на плоскость большего основания ($p$) и высотой усечённой пирамиды ($H$). Боковое ребро является гипотенузой, а угол между ним и его проекцией, по условию, равен $\alpha = 45^\circ$.
Высота пирамиды $H$ является катетом, противолежащим этому углу:
$H = l \cdot \sin(\alpha) = 6 \cdot \sin(45^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$ см.

Проекция бокового ребра $p$ является вторым катетом этого треугольника:
$p = l \cdot \cos(\alpha) = 6 \cdot \cos(45^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$ см.

Для правильной усечённой пирамиды проекция бокового ребра на плоскость основания равна разности расстояний от центра основания до вершин (то есть разности радиусов описанных окружностей), что эквивалентно разности полудиагоналей оснований.
Пусть $a_1$ — сторона большего основания. Диагонали оснований равны $d_1 = a_1\sqrt{2}$ и $d_2 = a_2\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$ см.
Тогда $p = \frac{d_1}{2} - \frac{d_2}{2} = \frac{a_1\sqrt{2}}{2} - \frac{4\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}(a_1 - 4)$.

Приравняем полученные значения для $p$:
$3\sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}(a_1 - 4)$.
Разделим обе части уравнения на $\sqrt{2}$:
$3 = \frac{1}{2}(a_1 - 4)$.
$6 = a_1 - 4$.
Отсюда находим сторону большего основания: $a_1 = 10$ см.

Площадь большего основания $S_1 = a_1^2 = 10^2 = 100$ см².

Теперь мы можем вычислить объём усечённой пирамиды, подставив все найденные значения в формулу:
$V = \frac{1}{3}H(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2}) = \frac{1}{3} \cdot 3\sqrt{2} \cdot (100 + 16 + \sqrt{100 \cdot 16})$.
$V = \sqrt{2} \cdot (116 + \sqrt{1600}) = \sqrt{2} \cdot (116 + 40) = \sqrt{2} \cdot 156$.
$V = 156\sqrt{2}$ см³.

Ответ: $156\sqrt{2}$ см³.

277. Стороны оснований правильной усечённой четырёхугольной пирамиды равны 8 см и 10 см. Двугранный угол усечённой пирамиды при ребре большего основания равен $45^\circ$. Найдите объём усечённой пирамиды.

277. Стороны оснований правильной усечённой четырёхугольной пирамиды равны 8 см и 10 см. Двугранный угол усечённой пирамиды при ребре большего основания равен $45^\circ$. Найдите объём усечённой пирамиды.

Для нахождения объёма усечённой пирамиды воспользуемся формулой:

$V = \frac{1}{3}h(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2})$

где $h$ — высота усечённой пирамиды, а $S_1$ и $S_2$ — площади её оснований.

Найдём площади оснований

Так как пирамида правильная четырёхугольная, её основаниями являются квадраты.
Сторона большего основания $a_1 = 10$ см.
Сторона меньшего основания $a_2 = 8$ см.
Площадь большего основания: $S_1 = a_1^2 = 10^2 = 100$ см².
Площадь меньшего основания: $S_2 = a_2^2 = 8^2 = 64$ см².

Найдём высоту усечённой пирамиды

Чтобы найти высоту $h$, рассмотрим осевое сечение пирамиды, перпендикулярное одной из сторон основания. Такое сечение является равнобокой трапецией.
Пусть $O_1$ и $O_2$ — центры меньшего и большего оснований соответственно, тогда $h = O_1O_2$.
Пусть $M_1$ и $M_2$ — середины соответствующих сторон меньшего и большего оснований. Тогда $O_1M_1$ и $O_2M_2$ — апофемы оснований.
$O_2M_2 = \frac{a_1}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см.
$O_1M_1 = \frac{a_2}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.
Проведём из точки $M_1$ высоту $M_1K$ на отрезок $O_2M_2$. Получим прямоугольный треугольник $M_1KM_2$.
Высота $M_1K$ равна высоте усечённой пирамиды $h$.
Катет $KM_2$ равен разности апофем оснований:
$KM_2 = O_2M_2 - O_2K = O_2M_2 - O_1M_1 = 5 - 4 = 1$ см.
Двугранный угол при ребре большего основания — это угол между боковой гранью и плоскостью большего основания. В нашем сечении это угол $\angle M_1M_2K$, который по условию равен $45^\circ$.
Из прямоугольного треугольника $M_1KM_2$ найдём высоту $h = M_1K$:

$\tan(\angle M_1M_2K) = \frac{M_1K}{KM_2} = \frac{h}{KM_2}$

$h = KM_2 \cdot \tan(45^\circ) = 1 \cdot 1 = 1$ см.

Вычислим объём усечённой пирамиды

Теперь подставим все найденные значения в формулу объёма:

$V = \frac{1}{3} \cdot 1 \cdot (100 + 64 + \sqrt{100 \cdot 64})$

$V = \frac{1}{3} (164 + \sqrt{6400})$

$V = \frac{1}{3} (164 + 80)$

$V = \frac{1}{3} \cdot 244$

$V = \frac{244}{3}$ см³ или $81\frac{1}{3}$ см³.

Ответ: $\frac{244}{3}$ см³.