Страница 72 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

297. Объём конуса равен $30 \text{ см}^3$, а площадь его основания — $6 \text{ см}^2$. Найдите высоту конуса.

297. Объём конуса равен $30 \text{ см}^3$, а площадь его основания — $6 \text{ см}^2$. Найдите высоту конуса.

Объём конуса $(V)$ вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота конуса.

Чтобы найти высоту конуса, выразим её из этой формулы:

$h = \frac{3V}{S_{осн}}$

Подставим в формулу известные значения из условия задачи: объём $V = 30$ см³ и площадь основания $S_{осн} = 6$ см².

$h = \frac{3 \cdot 30 \text{ см}^3}{6 \text{ см}^2} = \frac{90}{6} \text{ см} = 15 \text{ см}$.

Ответ: 15 см.

298. Объём конуса равен 15 $cm^3$. Найдите объём цилиндра, имеющего такие же радиус основания и высоту, как и данный конус.

298. Объём конуса равен $15 \text{ см}^3$. Найдите объём цилиндра, имеющего такие же радиус основания и высоту, как и данный конус.

Пусть $V_{конуса}$ — объём конуса, а $V_{цилиндра}$ — объём цилиндра. Пусть $r$ — радиус их общего основания, а $h$ — их общая высота.

Формула для объёма конуса имеет вид:
$V_{конуса} = \frac{1}{3} \pi r^2 h$

Формула для объёма цилиндра:
$V_{цилиндра} = \pi r^2 h$

Сравнивая эти две формулы, можно заметить, что объём цилиндра в 3 раза больше объёма конуса с такими же радиусом основания и высотой:
$V_{цилиндра} = 3 \cdot (\frac{1}{3} \pi r^2 h) = 3 \cdot V_{конуса}$

По условию задачи, объём конуса равен 15 см³. Подставим это значение в полученное соотношение:
$V_{цилиндра} = 3 \cdot 15 \text{ см}^3 = 45 \text{ см}^3$

Ответ: 45 см³

299. Один из катетов прямоугольного треугольника равен 6 см, а прилежащий к нему угол — $60^\circ$. Найдите объём тела, полученного в результате вращения данного треугольника вокруг прямой, содержащей данный катет.

299. Один из катетов прямоугольного треугольника равен 6 см, а прилежащий к нему угол — $60^\circ$. Найдите объём тела, полученного в результате вращения данного треугольника вокруг прямой, содержащей данный катет.

Решение

При вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов образуется конус. Катет, вокруг которого происходит вращение, является высотой конуса (H), а другой катет — радиусом его основания (R).

По условию задачи, один из катетов равен 6 см. Прямая, содержащая этот катет, является осью вращения. Следовательно, высота конуса $H = 6$ см.

Прилежащий к этому катету (высоте) угол равен 60°. В прямоугольном треугольнике, который является осевым сечением конуса, этот угол находится между высотой H и образующей. Второй катет (радиус R) является противолежащим катетом для этого угла. Найдем радиус основания R, используя тангенс угла:

$ \tan(60^\circ) = \frac{R}{H} $

Выразим R:

$ R = H \cdot \tan(60^\circ) $

Мы знаем, что $ \tan(60^\circ) = \sqrt{3} $. Подставим значения H и тангенса:

$ R = 6 \cdot \sqrt{3} $ см.

Теперь, когда у нас есть высота и радиус, мы можем найти объём конуса (V) по формуле:

$ V = \frac{1}{3} \pi R^2 H $

Подставим наши значения в формулу:

$ V = \frac{1}{3} \pi (6\sqrt{3})^2 \cdot 6 $

$ V = \frac{1}{3} \pi (36 \cdot 3) \cdot 6 $

$ V = \frac{1}{3} \pi \cdot 108 \cdot 6 $

$ V = \pi \cdot 36 \cdot 6 $

$ V = 216\pi $ см³.

Ответ: $216\pi$ см³.

300. Осевое сечение конуса — прямоугольный треугольник, площадь которого равна 16 $см^2$. Найдите объём конуса.

300. Осевое сечение конуса — прямоугольный треугольник, площадь которого равна $16 \text{ см}^2$. Найдите объём конуса.

Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник. Его основание — это диаметр основания конуса ($D=2R$, где $R$ — радиус основания), а боковые стороны — это образующие конуса ($L$). Высота этого треугольника, проведенная к основанию, является высотой конуса ($H$).

По условию задачи, осевое сечение — это прямоугольный треугольник. Так как он равнобедренный, прямой угол ($90^\circ$) может быть только при вершине конуса. Это означает, что образующие $L$ являются катетами этого треугольника, а диаметр основания $D$ — его гипотенузой.

Площадь прямоугольного треугольника ($S_{сеч}$) вычисляется как половина произведения его катетов:

$S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot L \cdot L = \frac{1}{2}L^2$

Нам дано, что $S_{сеч} = 16$ см². Подставим это значение в формулу:

$16 = \frac{1}{2}L^2$

Отсюда найдем квадрат образующей:

$L^2 = 16 \cdot 2 = 32$

Высота конуса $H$ в данном осевом сечении является высотой прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе. В то же время, она является и медианой, так как треугольник равнобедренный. По свойству медианы прямоугольного треугольника, проведенной из вершины прямого угла, она равна половине гипотенузы:

$H = \frac{1}{2}D = \frac{1}{2}(2R) = R$

Таким образом, для данного конуса высота равна радиусу основания ($H=R$).

Связь между образующей, высотой и радиусом конуса дается теоремой Пифагора: $L^2 = H^2 + R^2$.

Подставим в это уравнение известные нам соотношения $H=R$ и $L^2 = 32$:

$32 = R^2 + R^2$

$32 = 2R^2$

$R^2 = \frac{32}{2} = 16$

Следовательно, радиус $R = \sqrt{16} = 4$ см, и высота $H = R = 4$ см.

Объём конуса ($V$) вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3}\pi R^2 H$

Подставим найденные значения $R$ и $H$:

$V = \frac{1}{3}\pi \cdot 4^2 \cdot 4 = \frac{1}{3}\pi \cdot 16 \cdot 4 = \frac{64\pi}{3}$ см³.

Ответ: $\frac{64\pi}{3}$ см³.

301. Объём конуса равен 3 см³. Найдите объём конуса, радиус основания которого в 7 раз больше радиуса основания, а высота — в 2 раза больше высоты данного конуса.

301. Объём конуса равен $3 \text{ см}^3$. Найдите объём конуса, радиус основания которого в 7 раз больше радиуса основания, а высота — в 2 раза больше высоты данного конуса.

Пусть $V_1$, $r_1$ и $h_1$ — объем, радиус основания и высота исходного конуса соответственно. По условию задачи, $V_1 = 3 \text{ см}^3$.
Объем конуса вычисляется по формуле:
$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$
Для данного конуса формула имеет вид:
$V_1 = \frac{1}{3} \pi r_1^2 h_1 = 3$
Пусть $V_2$, $r_2$ и $h_2$ — объем, радиус основания и высота нового конуса.
Согласно условиям, радиус нового конуса в 7 раз больше радиуса исходного, а высота — в 2 раза больше высоты исходного:
$r_2 = 7r_1$
$h_2 = 2h_1$
Теперь найдем объем нового конуса $V_2$, подставив новые значения радиуса и высоты в формулу объема:
$V_2 = \frac{1}{3} \pi r_2^2 h_2 = \frac{1}{3} \pi (7r_1)^2 (2h_1)$
Упростим полученное выражение:
$V_2 = \frac{1}{3} \pi (49r_1^2) (2h_1) = 49 \cdot 2 \cdot \left(\frac{1}{3} \pi r_1^2 h_1\right)$
Заметим, что выражение в скобках равно объему исходного конуса $V_1$.
$V_2 = 98 \cdot V_1$
Подставим известное значение $V_1 = 3$:
$V_2 = 98 \cdot 3 = 294$
Следовательно, объем нового конуса равен $294 \text{ см}^3$.
Ответ: 294 см³.

302. В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $ \frac{1}{3} $ его высоты (рис. 19). Объём жидкости равен 20 мл. Сколько миллилитров жидкости надо долить, чтобы полностью наполнить сосуд?

Рис. 19

302. В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\frac{1}{3}$ его высоты (рис. 19). Объём жидкости равен 20 мл. Сколько миллилитров жидкости надо долить, чтобы полностью наполнить сосуд?

Рис. 19

Пусть $V$ – объём всего сосуда (большого конуса), а $H$ – его высота.
Пусть $V_1$ – объём жидкости в сосуде, а $h_1$ – уровень (высота) жидкости.

По условию задачи, уровень жидкости достигает $\frac{1}{3}$ высоты сосуда, то есть $h_1 = \frac{1}{3}H$. Объём жидкости равен $V_1 = 20$ мл.

Жидкость в коническом сосуде образует меньший конус, который подобен большому конусу (всему сосуду).

Отношение объёмов подобных тел равно кубу коэффициента подобия. В данном случае коэффициент подобия $k$ равен отношению высот малого и большого конусов:
$k = \frac{h_1}{H} = \frac{\frac{1}{3}H}{H} = \frac{1}{3}$.

Следовательно, отношение объёма жидкости к объёму всего сосуда равно:
$\frac{V_1}{V} = k^3 = (\frac{1}{3})^3 = \frac{1}{27}$.

Мы знаем объём жидкости $V_1 = 20$ мл. Подставим это значение в пропорцию, чтобы найти полный объём сосуда $V$:
$\frac{20}{V} = \frac{1}{27}$
$V = 20 \cdot 27 = 540$ мл.

Чтобы узнать, сколько жидкости надо долить, чтобы полностью наполнить сосуд, нужно из полного объёма сосуда вычесть объём уже налитой жидкости:
$V_{долить} = V - V_1 = 540 - 20 = 520$ мл.

Ответ: 520 мл.

303. Через две образующие конуса проведено сечение, пересекающее основание по хорде длиной 8 см. Эта хорда видна из центра основания конуса под углом $90^\circ$. Найдите объём конуса, если плоскость сечения образует с плоскостью основания конуса угол $45^\circ$.

303. Через две образующие конуса проведено сечение, пересекающее основание по хорде длиной 8 см. Эта хорда видна из центра основания конуса под углом $90^{\circ}$. Найдите объём конуса, если плоскость сечения образует с плоскостью основания конуса угол $45^{\circ}$.

Пусть дан конус с вершиной $S$ и центром основания $O$. Сечение конуса представляет собой треугольник $SAB$, где $AB$ - хорда в основании конуса.

По условию, длина хорды $AB = 8$ см. Эта хорда видна из центра основания $O$ под углом $90^\circ$, то есть $\angle AOB = 90^\circ$. Рассмотрим треугольник $AOB$ в основании конуса. Так как $OA$ и $OB$ являются радиусами основания ($OA = OB = R$), треугольник $AOB$ - равнобедренный. Учитывая, что угол при вершине равен $90^\circ$, он является равнобедренным прямоугольным треугольником.

Применим к треугольнику $AOB$ теорему Пифагора, чтобы найти радиус основания $R$: $OA^2 + OB^2 = AB^2$ $R^2 + R^2 = 8^2$ $2R^2 = 64$ $R^2 = 32$ см²

Плоскость сечения $(SAB)$ образует с плоскостью основания угол $45^\circ$. Угол между плоскостями измеряется линейным углом, который образуется перпендикулярами, проведенными к линии их пересечения (в данном случае, к хорде $AB$).

Пусть $M$ - середина хорды $AB$. В равнобедренном треугольнике $AOB$ медиана $OM$ является также и высотой, следовательно, $OM \perp AB$. В равнобедренном треугольнике $SAB$ (поскольку $SA = SB$ как образующие конуса) медиана $SM$ также является высотой, следовательно, $SM \perp AB$.

Таким образом, угол $\angle SMO$ является линейным углом двугранного угла между плоскостью сечения и плоскостью основания, и по условию $\angle SMO = 45^\circ$.

Рассмотрим треугольник $SOM$. Он является прямоугольным, так как высота конуса $SO$ перпендикулярна плоскости основания, а значит, и отрезку $OM$, лежащему в этой плоскости ($\angle SOM = 90^\circ$).

Найдем длину отрезка $OM$. Из прямоугольного треугольника $AOM$ (где $AM = AB/2 = 4$ см, а $OA = R$) по теореме Пифагора: $OM^2 = OA^2 - AM^2 = R^2 - 4^2 = 32 - 16 = 16$ $OM = \sqrt{16} = 4$ см.

В прямоугольном треугольнике $SOM$ известны катет $OM = 4$ см и прилежащий к нему острый угол $\angle SMO = 45^\circ$. Высоту конуса $H = SO$ можно найти через тангенс этого угла: $\tan(\angle SMO) = \frac{SO}{OM} \implies \tan(45^\circ) = \frac{H}{4}$ Так как $\tan(45^\circ) = 1$, получаем: $1 = \frac{H}{4} \implies H = 4$ см.

Объём конуса вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} \pi R^2 H$. Подставим найденные значения $R^2 = 32$ и $H = 4$: $V = \frac{1}{3} \pi \cdot 32 \cdot 4 = \frac{128\pi}{3}$ см³.

Ответ: $\frac{128\pi}{3}$ см³.

304. Угол между образующей конуса и его высотой равен $\alpha$.

Отрезок, соединяющий центр основания конуса с серединой образующей, равен $m$. Найдите объём конуса.

304. Угол между образующей конуса и его высотой равен $\alpha$. Отрезок, соединяющий центр основания конуса с серединой образующей, равен $m$. Найдите объём конуса.

Для решения задачи введем следующие обозначения: $H$ — высота конуса, $R$ — радиус основания конуса, $L$ — длина образующей конуса.

Рассмотрим осевое сечение конуса. Оно представляет собой равнобедренный треугольник. Половина этого сечения — это прямоугольный треугольник, катетами которого являются высота $H$ и радиус $R$, а гипотенузой — образующая $L$. Обозначим вершины этого треугольника: $S$ — вершина конуса, $O$ — центр основания, $A$ — точка на окружности основания. Таким образом, $\triangle SOA$ — прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине $O$.

Из условия задачи известно, что угол между образующей и высотой равен $\alpha$. В нашем треугольнике это соответствует углу $\angle OSA = \alpha$.

Используя определения тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике $\triangle SOA$, выразим катеты $R$ и $H$ через гипотенузу $L$ и угол $\alpha$:
$R = L \sin \alpha$
$H = L \cos \alpha$

Второе условие задачи гласит, что отрезок, соединяющий центр основания конуса ($O$) с серединой образующей ($SA$), равен $m$. Пусть точка $M$ — середина образующей $SA$. Тогда длина отрезка $OM = m$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle SOA$ отрезок $OM$ является медианой, проведенной из вершины прямого угла к гипотенузе $SA$. Согласно свойству медианы прямоугольного треугольника, ее длина равна половине длины гипотенузы. Таким образом:
$OM = \frac{1}{2} L$
Подставив данное значение $m$, получаем:
$m = \frac{1}{2} L$
Из этого соотношения находим длину образующей:
$L = 2m$

Теперь мы можем выразить высоту $H$ и радиус $R$ через заданные в условии величины $m$ и $\alpha$, подставив найденное значение $L$ в тригонометрические соотношения:
$H = L \cos \alpha = 2m \cos \alpha$
$R = L \sin \alpha = 2m \sin \alpha$

Объём конуса $V$ находится по формуле:
$V = \frac{1}{3} \pi R^2 H$
Подставим в эту формулу полученные выражения для $R$ и $H$:
$V = \frac{1}{3} \pi (2m \sin \alpha)^2 (2m \cos \alpha)$
$V = \frac{1}{3} \pi (4m^2 \sin^2 \alpha) (2m \cos \alpha)$
$V = \frac{1}{3} \pi \cdot 8m^3 \sin^2 \alpha \cos \alpha$
$V = \frac{8 \pi m^3 \sin^2 \alpha \cos \alpha}{3}$

Ответ: $V = \frac{8 \pi m^3 \sin^2 \alpha \cos \alpha}{3}$.

305. Стороны треугольника равны 13 см, 14 см и 15 см. Он вращается вокруг прямой, содержащей сторону длиной 14 см. Найдите объём тела вращения.

305. Стороны треугольника равны 13 см, 14 см и 15 см. Он вращается вокруг прямой, содержащей сторону длиной 14 см. Найдите объём тела вращения.

При вращении треугольника вокруг прямой, содержащей одну из его сторон, образуется тело вращения, которое состоит из двух конусов с общим основанием.

Радиусом $R$ общего основания этих конусов является высота треугольника $h$, проведенная к стороне, вокруг которой происходит вращение. В данном случае, это высота, опущенная на сторону длиной 14 см.

Сумма высот этих двух конусов ($H_1 + H_2$) равна длине стороны, вокруг которой происходит вращение, то есть 14 см.

Объём тела вращения $V$ будет равен сумме объёмов двух конусов:

$ V = V_1 + V_2 = \frac{1}{3}\pi R^2 H_1 + \frac{1}{3}\pi R^2 H_2 = \frac{1}{3}\pi R^2 (H_1 + H_2) $

Для решения задачи нам нужно найти радиус $R$, то есть высоту треугольника, опущенную на сторону 14 см.

Мы можем найти высоту, предварительно вычислив площадь треугольника по формуле Герона: $ S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} $, где $a, b, c$ — стороны треугольника, а $p$ — его полупериметр.

1. Вычислим полупериметр $p$:
$ p = \frac{13 + 14 + 15}{2} = \frac{42}{2} = 21 $ см.

2. Вычислим площадь $S$:
$ S = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)} = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} $
$ S = \sqrt{(3 \cdot 7) \cdot (2^3) \cdot 7 \cdot (2 \cdot 3)} = \sqrt{2^4 \cdot 3^2 \cdot 7^2} = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 = 4 \cdot 21 = 84 $ см².

3. Теперь найдём высоту $h$, опущенную на сторону длиной 14 см, используя формулу площади $ S = \frac{1}{2}ah $:
$ 84 = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot h $
$ 84 = 7h $
$ h = \frac{84}{7} = 12 $ см.

Таким образом, радиус основания конусов $R = h = 12$ см.

Теперь, зная радиус $R=12$ см и сумму высот конусов $H_1 + H_2 = 14$ см, мы можем вычислить объём тела вращения по формуле, выведенной ранее:

$ V = \frac{1}{3}\pi R^2 (H_1 + H_2) $
$ V = \frac{1}{3}\pi \cdot 12^2 \cdot 14 $
$ V = \frac{1}{3}\pi \cdot 144 \cdot 14 $
$ V = \pi \cdot \frac{144}{3} \cdot 14 $
$ V = \pi \cdot 48 \cdot 14 $
$ V = 672\pi $ см³.

Ответ: $672\pi$ см³.