Номер 304, страница 72 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

304. Угол между образующей конуса и его высотой равен $\alpha$.

Отрезок, соединяющий центр основания конуса с серединой образующей, равен $m$. Найдите объём конуса.

304. Угол между образующей конуса и его высотой равен $\alpha$. Отрезок, соединяющий центр основания конуса с серединой образующей, равен $m$. Найдите объём конуса.

Для решения задачи введем следующие обозначения: $H$ — высота конуса, $R$ — радиус основания конуса, $L$ — длина образующей конуса.

Рассмотрим осевое сечение конуса. Оно представляет собой равнобедренный треугольник. Половина этого сечения — это прямоугольный треугольник, катетами которого являются высота $H$ и радиус $R$, а гипотенузой — образующая $L$. Обозначим вершины этого треугольника: $S$ — вершина конуса, $O$ — центр основания, $A$ — точка на окружности основания. Таким образом, $\triangle SOA$ — прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине $O$.

Из условия задачи известно, что угол между образующей и высотой равен $\alpha$. В нашем треугольнике это соответствует углу $\angle OSA = \alpha$.

Используя определения тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике $\triangle SOA$, выразим катеты $R$ и $H$ через гипотенузу $L$ и угол $\alpha$:
$R = L \sin \alpha$
$H = L \cos \alpha$

Второе условие задачи гласит, что отрезок, соединяющий центр основания конуса ($O$) с серединой образующей ($SA$), равен $m$. Пусть точка $M$ — середина образующей $SA$. Тогда длина отрезка $OM = m$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle SOA$ отрезок $OM$ является медианой, проведенной из вершины прямого угла к гипотенузе $SA$. Согласно свойству медианы прямоугольного треугольника, ее длина равна половине длины гипотенузы. Таким образом:
$OM = \frac{1}{2} L$
Подставив данное значение $m$, получаем:
$m = \frac{1}{2} L$
Из этого соотношения находим длину образующей:
$L = 2m$

Теперь мы можем выразить высоту $H$ и радиус $R$ через заданные в условии величины $m$ и $\alpha$, подставив найденное значение $L$ в тригонометрические соотношения:
$H = L \cos \alpha = 2m \cos \alpha$
$R = L \sin \alpha = 2m \sin \alpha$

Объём конуса $V$ находится по формуле:
$V = \frac{1}{3} \pi R^2 H$
Подставим в эту формулу полученные выражения для $R$ и $H$:
$V = \frac{1}{3} \pi (2m \sin \alpha)^2 (2m \cos \alpha)$
$V = \frac{1}{3} \pi (4m^2 \sin^2 \alpha) (2m \cos \alpha)$
$V = \frac{1}{3} \pi \cdot 8m^3 \sin^2 \alpha \cos \alpha$
$V = \frac{8 \pi m^3 \sin^2 \alpha \cos \alpha}{3}$

Ответ: $V = \frac{8 \pi m^3 \sin^2 \alpha \cos \alpha}{3}$.