Номер 307, страница 73 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

307. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 5 см, а боковое ребро — 13 см. Найдите объём конуса, описанного около пирамиды.

307. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 5 см, а боковое ребро – 13 см. Найдите объём конуса, описанного около пирамиды.

Для нахождения объёма конуса используется формула $V = \frac{1}{3} \pi R^2 H$, где $R$ – это радиус основания конуса, а $H$ – его высота.

По условию, конус описан около правильной шестиугольной пирамиды. Это означает, что вершина и высота у конуса и пирамиды общие, а основание конуса представляет собой окружность, описанную около основания пирамиды – правильного шестиугольника.

Сначала найдём радиус основания конуса $R$. Радиус окружности, описанной около правильного шестиугольника, равен его стороне. Сторона основания пирамиды по условию равна 5 см. Следовательно, радиус основания конуса также равен 5 см:

$R = 5$ см.

Далее найдём высоту конуса $H$. Высота конуса совпадает с высотой пирамиды. Высоту пирамиды можно найти, рассмотрев прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром пирамиды (которое будет гипотенузой), высотой пирамиды (катет) и радиусом описанной окружности основания (второй катет).

Из условия известно, что боковое ребро $l = 13$ см. Используя теорему Пифагора $l^2 = R^2 + H^2$, выразим и вычислим высоту $H$:

$H^2 = l^2 - R^2$

$H^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$

$H = \sqrt{144} = 12$ см.

Теперь, зная радиус $R = 5$ см и высоту $H = 12$ см, мы можем вычислить объём конуса:

$V = \frac{1}{3} \pi R^2 H = \frac{1}{3} \pi \cdot 5^2 \cdot 12 = \frac{1}{3} \pi \cdot 25 \cdot 12 = \pi \cdot 25 \cdot \frac{12}{3} = \pi \cdot 25 \cdot 4 = 100\pi$ см³.

Ответ: $100\pi$ см³.