Номер 300, страница 72 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

300. Осевое сечение конуса — прямоугольный треугольник, площадь которого равна 16 $см^2$. Найдите объём конуса.

300. Осевое сечение конуса — прямоугольный треугольник, площадь которого равна $16 \text{ см}^2$. Найдите объём конуса.

Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник. Его основание — это диаметр основания конуса ($D=2R$, где $R$ — радиус основания), а боковые стороны — это образующие конуса ($L$). Высота этого треугольника, проведенная к основанию, является высотой конуса ($H$).

По условию задачи, осевое сечение — это прямоугольный треугольник. Так как он равнобедренный, прямой угол ($90^\circ$) может быть только при вершине конуса. Это означает, что образующие $L$ являются катетами этого треугольника, а диаметр основания $D$ — его гипотенузой.

Площадь прямоугольного треугольника ($S_{сеч}$) вычисляется как половина произведения его катетов:

$S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot L \cdot L = \frac{1}{2}L^2$

Нам дано, что $S_{сеч} = 16$ см². Подставим это значение в формулу:

$16 = \frac{1}{2}L^2$

Отсюда найдем квадрат образующей:

$L^2 = 16 \cdot 2 = 32$

Высота конуса $H$ в данном осевом сечении является высотой прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе. В то же время, она является и медианой, так как треугольник равнобедренный. По свойству медианы прямоугольного треугольника, проведенной из вершины прямого угла, она равна половине гипотенузы:

$H = \frac{1}{2}D = \frac{1}{2}(2R) = R$

Таким образом, для данного конуса высота равна радиусу основания ($H=R$).

Связь между образующей, высотой и радиусом конуса дается теоремой Пифагора: $L^2 = H^2 + R^2$.

Подставим в это уравнение известные нам соотношения $H=R$ и $L^2 = 32$:

$32 = R^2 + R^2$

$32 = 2R^2$

$R^2 = \frac{32}{2} = 16$

Следовательно, радиус $R = \sqrt{16} = 4$ см, и высота $H = R = 4$ см.

Объём конуса ($V$) вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3}\pi R^2 H$

Подставим найденные значения $R$ и $H$:

$V = \frac{1}{3}\pi \cdot 4^2 \cdot 4 = \frac{1}{3}\pi \cdot 16 \cdot 4 = \frac{64\pi}{3}$ см³.

Ответ: $\frac{64\pi}{3}$ см³.