Номер 306, страница 73 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

306. Большее основание равнобокой трапеции равно 12 см, её боковая сторона — $4\sqrt{5}$ см, а тангенс острого угла трапеции равен 2. Трапеция вращается вокруг прямой, содержащей её меньшее основание. Найдите объём тела вращения.

306. Большее основание равнобокой трапеции равно 12 см, её боковая сторона — $4\sqrt{5}$ см, а тангенс острого угла трапеции равен 2. Трапеция вращается вокруг прямой, содержащей её меньшее основание. Найдите объём тела вращения.

Пусть дана равнобокая трапеция ABCD, где AD – большее основание, BC – меньшее основание. По условию: $AD = 12$ см, боковая сторона $AB = CD = 4\sqrt{5}$ см, а тангенс острого угла при основании $\tan(\angle A) = 2$.

Тело вращения образуется при вращении трапеции вокруг прямой, содержащей ее меньшее основание BC. Это тело можно представить как цилиндр, полученный вращением прямоугольника, построенного на большем основании AD, из которого вычли два одинаковых конуса, полученных вращением прямоугольных треугольников по краям трапеции.

Для нахождения объема нам нужно определить высоту трапеции $h$ и длину проекции боковой стороны на большее основание. Проведем высоту BH из вершины B на основание AD. Получим прямоугольный треугольник ABH с гипотенузой $AB = 4\sqrt{5}$ см. Пусть катет $AH = x$, а катет $BH = h$.

Из определения тангенса в прямоугольном треугольнике ABH: $\tan(\angle A) = \frac{BH}{AH} = \frac{h}{x}$ По условию $\tan(\angle A) = 2$, следовательно, $\frac{h}{x} = 2$, откуда $h = 2x$.

Применим теорему Пифагора к треугольнику ABH: $AB^2 = AH^2 + BH^2$ $(4\sqrt{5})^2 = x^2 + h^2$ Подставим $h = 2x$: $16 \cdot 5 = x^2 + (2x)^2$ $80 = x^2 + 4x^2$ $80 = 5x^2$ $x^2 = 16$ $x = 4$ см.

Теперь найдем высоту трапеции: $h = 2x = 2 \cdot 4 = 8$ см.

Теперь рассмотрим тело вращения. Оно состоит из цилиндра с вырезанными из него двумя конусами.

• Цилиндр образуется вращением прямоугольника, стороны которого равны большему основанию $AD$ и высоте трапеции $h$. Ось вращения совпадает с одной из сторон этого воображаемого прямоугольника (линией BC). Таким образом, высота цилиндра $H_{цил}$ равна большему основанию $AD = 12$ см, а радиус основания цилиндра $R_{цил}$ равен высоте трапеции $h = 8$ см.
• Два конуса образуются вращением двух прямоугольных треугольников (таких как ABH) вокруг катета, лежащего на оси вращения. В нашем случае вращение происходит вокруг прямой BC. Тело вращения трапеции - это цилиндр, из которого вычтены два конуса. Радиус основания каждого конуса $r_{кон}$ равен высоте трапеции $h = 8$ см, а высота каждого конуса $h_{кон}$ равна проекции боковой стороны на основание, то есть $x = 4$ см.

Объем тела вращения V равен разности объема цилиндра $V_{цил}$ и объемов двух конусов $2 \cdot V_{кон}$.

Найдем объем цилиндра: $V_{цил} = \pi R_{цил}^2 H_{цил} = \pi \cdot h^2 \cdot AD = \pi \cdot 8^2 \cdot 12 = \pi \cdot 64 \cdot 12 = 768\pi$ см³.

Найдем объем одного конуса: $V_{кон} = \frac{1}{3} \pi r_{кон}^2 h_{кон} = \frac{1}{3} \pi \cdot h^2 \cdot x = \frac{1}{3} \pi \cdot 8^2 \cdot 4 = \frac{1}{3} \pi \cdot 64 \cdot 4 = \frac{256\pi}{3}$ см³.

Найдем объем искомого тела вращения: $V = V_{цил} - 2 \cdot V_{кон} = 768\pi - 2 \cdot \frac{256\pi}{3} = 768\pi - \frac{512\pi}{3}$ Приведем к общему знаменателю: $V = \frac{768\pi \cdot 3}{3} - \frac{512\pi}{3} = \frac{2304\pi - 512\pi}{3} = \frac{1792\pi}{3}$ см³.

Ответ: $\frac{1792\pi}{3}$ см³.