Номер 310, страница 73 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

310. Основанием пирамиды является равнобедренный тре- угольник, боковая сторона которого равна $a$, а угол между боковыми сторонами — $\beta$. Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $\varphi$. Найдите объём конуса, вписанного в данную пирамиду.

310. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник, боковая сторона которого равна $a$, а угол между боковыми сторонами — $\beta$. Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $\phi$. Найдите объём конуса, вписанного в данную пирамиду.

Объем конуса вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} \pi R^2 H$, где $R$ – радиус основания конуса, а $H$ – его высота. Так как конус вписан в пирамиду, его основание является окружностью, вписанной в основание пирамиды, а его вершина совпадает с вершиной пирамиды. Следовательно, радиус основания конуса $R$ равен радиусу $r$ окружности, вписанной в треугольник в основании пирамиды, а высота конуса $H$ равна высоте пирамиды.

Для решения задачи нам необходимо найти радиус $r$ и высоту $H$.

1. Нахождение радиуса $r$ вписанной окружности.

Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник с боковыми сторонами, равными $a$, и углом $\beta$ между ними. Радиус вписанной в треугольник окружности можно найти по формуле $r = \frac{S}{p}$, где $S$ – площадь треугольника, а $p$ – его полупериметр.

Найдем площадь треугольника $S$:
$S = \frac{1}{2} a \cdot a \cdot \sin\beta = \frac{1}{2} a^2 \sin\beta$.

Найдем третью сторону треугольника (его основание $c$) по теореме косинусов:
$c^2 = a^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot a \cdot \cos\beta = 2a^2(1 - \cos\beta)$.
Используя формулу $1 - \cos\beta = 2\sin^2(\frac{\beta}{2})$, получим:
$c^2 = 2a^2 \cdot 2\sin^2(\frac{\beta}{2}) = 4a^2\sin^2(\frac{\beta}{2})$, откуда $c = 2a\sin(\frac{\beta}{2})$.

Найдем полупериметр $p$:
$p = \frac{a + a + c}{2} = \frac{2a + 2a\sin(\frac{\beta}{2})}{2} = a(1 + \sin(\frac{\beta}{2}))$.

Теперь вычислим радиус $r$:
$r = \frac{S}{p} = \frac{\frac{1}{2} a^2 \sin\beta}{a(1 + \sin(\frac{\beta}{2}))} = \frac{a \sin\beta}{2(1 + \sin(\frac{\beta}{2}))}$.
Применим формулу двойного угла $\sin\beta = 2\sin(\frac{\beta}{2})\cos(\frac{\beta}{2})$:
$r = \frac{a \cdot 2\sin(\frac{\beta}{2})\cos(\frac{\beta}{2})}{2(1 + \sin(\frac{\beta}{2}))} = \frac{a \sin(\frac{\beta}{2})\cos(\frac{\beta}{2})}{1 + \sin(\frac{\beta}{2})}$.
Чтобы упростить выражение, умножим числитель и знаменатель на $(1 - \sin(\frac{\beta}{2}))$:
$r = \frac{a \sin(\frac{\beta}{2})\cos(\frac{\beta}{2})(1 - \sin(\frac{\beta}{2}))}{(1 + \sin(\frac{\beta}{2}))(1 - \sin(\frac{\beta}{2}))} = \frac{a \sin(\frac{\beta}{2})\cos(\frac{\beta}{2})(1 - \sin(\frac{\beta}{2}))}{1 - \sin^2(\frac{\beta}{2})}$.
Так как $1 - \sin^2(\frac{\beta}{2}) = \cos^2(\frac{\beta}{2})$, получаем:
$r = \frac{a \sin(\frac{\beta}{2})\cos(\frac{\beta}{2})(1 - \sin(\frac{\beta}{2}))}{\cos^2(\frac{\beta}{2})} = a \frac{\sin(\frac{\beta}{2})}{\cos(\frac{\beta}{2})}(1 - \sin(\frac{\beta}{2})) = a \tan(\frac{\beta}{2})(1 - \sin(\frac{\beta}{2}))$.

2. Нахождение высоты $H$ пирамиды.

По условию, все двугранные углы при ребрах основания равны $\phi$. Это означает, что вершина пирамиды проецируется в центр вписанной в основание окружности. Таким образом, высота пирамиды $H$ соединяет вершину пирамиды с центром вписанной окружности основания.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, радиусом вписанной окружности $r$ и апофемой боковой грани. Катетами этого треугольника являются $H$ и $r$. Угол, противолежащий катету $H$, является линейным углом двугранного угла и равен $\phi$.
Из соотношения в прямоугольном треугольнике имеем:
$\tan\phi = \frac{H}{r}$, откуда $H = r \tan\phi$.

3. Вычисление объема конуса $V$.

Подставим найденные выражения для $r$ и $H$ в формулу объема конуса:
$V = \frac{1}{3} \pi r^2 H = \frac{1}{3} \pi r^2 (r \tan\phi) = \frac{1}{3} \pi r^3 \tan\phi$.
Теперь подставим выражение для $r$:
$V = \frac{1}{3} \pi \left( a \tan(\frac{\beta}{2})(1 - \sin(\frac{\beta}{2})) \right)^3 \tan\phi$.

Окончательно получаем:
$V = \frac{1}{3} \pi a^3 \tan^3(\frac{\beta}{2})(1 - \sin(\frac{\beta}{2}))^3 \tan\phi$.

Ответ: $V = \frac{1}{3} \pi a^3 \tan^3\left(\frac{\beta}{2}\right)\left(1 - \sin\left(\frac{\beta}{2}\right)\right)^3 \tan\phi$.