Номер 316, страница 74 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

316. В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC$,
$AC = 12 \text{ см}$, $\angle ABC = 120^\circ$. Прямая $m$ лежит в плоскости $ABC$, проходит через точку $C$ и перпендикулярна прямой $AC$. Треугольник $ABC$ вращается вокруг прямой $m$. Найдите объём тела вращения.

316. В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC$, $AC = 12$ см, $\angle ABC = 120^\circ$. Прямая $m$ лежит в плоскости $ABC$, проходит через точку $C$ и перпендикулярна прямой $AC$. Треугольник $ABC$ вращается вокруг прямой $m$. Найдите объём тела вращения.

Для нахождения объёма тела вращения, образованного вращением треугольника $ABC$ вокруг прямой $m$, воспользуемся второй теоремой Паппа-Гюльдена. Согласно этой теореме, объём тела вращения $V$ равен произведению площади вращаемой фигуры $A$ на длину окружности $L$, которую описывает центр масс (центроид) этой фигуры при вращении. Формула имеет вид: $V = A \cdot L = A \cdot 2\pi d$, где $d$ — расстояние от центроида до оси вращения.

Сначала определим все параметры треугольника $ABC$. По условию, $AB = BC$, $AC = 12$ см, $\angle ABC = 120^\circ$. Треугольник $ABC$ является равнобедренным. Углы при основании $AC$ равны: $\angle BAC = \angle BCA = \frac{180^\circ - 120^\circ}{2} = 30^\circ$.

Найдём длину боковых сторон $AB$ и $BC$ с помощью теоремы синусов: $\frac{AC}{\sin(\angle ABC)} = \frac{BC}{\sin(\angle BAC)}$ $BC = \frac{AC \cdot \sin(\angle BAC)}{\sin(\angle ABC)} = \frac{12 \cdot \sin(30^\circ)}{\sin(120^\circ)} = \frac{12 \cdot \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}$ см.

Теперь вычислим площадь треугольника $A$ по формуле: $A = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin(\angle ABC)$ $A = \frac{1}{2} \cdot (4\sqrt{3}) \cdot (4\sqrt{3}) \cdot \sin(120^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 48 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3}$ см$^2$.

Далее найдем расстояние $d$ от центроида треугольника до оси вращения $m$. Для этого введем декартову систему координат. Пусть точка $C$ совпадает с началом координат $(0, 0)$. Прямая $m$ проходит через $C$ и перпендикулярна $AC$, поэтому примем прямую $m$ за ось $Oy$. Тогда прямая $AC$ будет лежать на оси $Ox$. В этой системе координат вершины треугольника имеют следующие координаты: $C(0, 0)$, $A(12, 0)$. Координаты вершины $B$ можно найти, зная длину отрезка $BC = 4\sqrt{3}$ и угол $\angle BCA = 30^\circ$, который он образует с осью $Ox$: $x_B = BC \cdot \cos(30^\circ) = 4\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6$ и $y_B = BC \cdot \sin(30^\circ) = 4\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = 2\sqrt{3}$. Таким образом, $B(6, 2\sqrt{3})$.

Координаты центроида треугольника $(x_M, y_M)$ находятся как среднее арифметическое координат его вершин: $x_M = \frac{x_A + x_B + x_C}{3} = \frac{12 + 6 + 0}{3} = 6$ $y_M = \frac{y_A + y_B + y_C}{3} = \frac{0 + 2\sqrt{3} + 0}{3} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$

Расстояние $d$ от центроида до оси вращения $m$ (оси $Oy$) равно модулю его абсциссы: $d = |x_M| = 6$ см.

Наконец, вычисляем объём тела вращения по формуле Паппа-Гюльдена: $V = 2\pi d A = 2\pi \cdot 6 \cdot 12\sqrt{3} = 144\pi\sqrt{3}$ см$^3$.

Ответ: $144\pi\sqrt{3}$ см$^3$.