Страница 73 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

306. Большее основание равнобокой трапеции равно 12 см, её боковая сторона — $4\sqrt{5}$ см, а тангенс острого угла трапеции равен 2. Трапеция вращается вокруг прямой, содержащей её меньшее основание. Найдите объём тела вращения.

306. Большее основание равнобокой трапеции равно 12 см, её боковая сторона — $4\sqrt{5}$ см, а тангенс острого угла трапеции равен 2. Трапеция вращается вокруг прямой, содержащей её меньшее основание. Найдите объём тела вращения.

Пусть дана равнобокая трапеция ABCD, где AD – большее основание, BC – меньшее основание. По условию: $AD = 12$ см, боковая сторона $AB = CD = 4\sqrt{5}$ см, а тангенс острого угла при основании $\tan(\angle A) = 2$.

Тело вращения образуется при вращении трапеции вокруг прямой, содержащей ее меньшее основание BC. Это тело можно представить как цилиндр, полученный вращением прямоугольника, построенного на большем основании AD, из которого вычли два одинаковых конуса, полученных вращением прямоугольных треугольников по краям трапеции.

Для нахождения объема нам нужно определить высоту трапеции $h$ и длину проекции боковой стороны на большее основание. Проведем высоту BH из вершины B на основание AD. Получим прямоугольный треугольник ABH с гипотенузой $AB = 4\sqrt{5}$ см. Пусть катет $AH = x$, а катет $BH = h$.

Из определения тангенса в прямоугольном треугольнике ABH: $\tan(\angle A) = \frac{BH}{AH} = \frac{h}{x}$ По условию $\tan(\angle A) = 2$, следовательно, $\frac{h}{x} = 2$, откуда $h = 2x$.

Применим теорему Пифагора к треугольнику ABH: $AB^2 = AH^2 + BH^2$ $(4\sqrt{5})^2 = x^2 + h^2$ Подставим $h = 2x$: $16 \cdot 5 = x^2 + (2x)^2$ $80 = x^2 + 4x^2$ $80 = 5x^2$ $x^2 = 16$ $x = 4$ см.

Теперь найдем высоту трапеции: $h = 2x = 2 \cdot 4 = 8$ см.

Теперь рассмотрим тело вращения. Оно состоит из цилиндра с вырезанными из него двумя конусами.

• Цилиндр образуется вращением прямоугольника, стороны которого равны большему основанию $AD$ и высоте трапеции $h$. Ось вращения совпадает с одной из сторон этого воображаемого прямоугольника (линией BC). Таким образом, высота цилиндра $H_{цил}$ равна большему основанию $AD = 12$ см, а радиус основания цилиндра $R_{цил}$ равен высоте трапеции $h = 8$ см.
• Два конуса образуются вращением двух прямоугольных треугольников (таких как ABH) вокруг катета, лежащего на оси вращения. В нашем случае вращение происходит вокруг прямой BC. Тело вращения трапеции - это цилиндр, из которого вычтены два конуса. Радиус основания каждого конуса $r_{кон}$ равен высоте трапеции $h = 8$ см, а высота каждого конуса $h_{кон}$ равна проекции боковой стороны на основание, то есть $x = 4$ см.

Объем тела вращения V равен разности объема цилиндра $V_{цил}$ и объемов двух конусов $2 \cdot V_{кон}$.

Найдем объем цилиндра: $V_{цил} = \pi R_{цил}^2 H_{цил} = \pi \cdot h^2 \cdot AD = \pi \cdot 8^2 \cdot 12 = \pi \cdot 64 \cdot 12 = 768\pi$ см³.

Найдем объем одного конуса: $V_{кон} = \frac{1}{3} \pi r_{кон}^2 h_{кон} = \frac{1}{3} \pi \cdot h^2 \cdot x = \frac{1}{3} \pi \cdot 8^2 \cdot 4 = \frac{1}{3} \pi \cdot 64 \cdot 4 = \frac{256\pi}{3}$ см³.

Найдем объем искомого тела вращения: $V = V_{цил} - 2 \cdot V_{кон} = 768\pi - 2 \cdot \frac{256\pi}{3} = 768\pi - \frac{512\pi}{3}$ Приведем к общему знаменателю: $V = \frac{768\pi \cdot 3}{3} - \frac{512\pi}{3} = \frac{2304\pi - 512\pi}{3} = \frac{1792\pi}{3}$ см³.

Ответ: $\frac{1792\pi}{3}$ см³.

307. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 5 см, а боковое ребро — 13 см. Найдите объём конуса, описанного около пирамиды.

307. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 5 см, а боковое ребро – 13 см. Найдите объём конуса, описанного около пирамиды.

Для нахождения объёма конуса используется формула $V = \frac{1}{3} \pi R^2 H$, где $R$ – это радиус основания конуса, а $H$ – его высота.

По условию, конус описан около правильной шестиугольной пирамиды. Это означает, что вершина и высота у конуса и пирамиды общие, а основание конуса представляет собой окружность, описанную около основания пирамиды – правильного шестиугольника.

Сначала найдём радиус основания конуса $R$. Радиус окружности, описанной около правильного шестиугольника, равен его стороне. Сторона основания пирамиды по условию равна 5 см. Следовательно, радиус основания конуса также равен 5 см:

$R = 5$ см.

Далее найдём высоту конуса $H$. Высота конуса совпадает с высотой пирамиды. Высоту пирамиды можно найти, рассмотрев прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром пирамиды (которое будет гипотенузой), высотой пирамиды (катет) и радиусом описанной окружности основания (второй катет).

Из условия известно, что боковое ребро $l = 13$ см. Используя теорему Пифагора $l^2 = R^2 + H^2$, выразим и вычислим высоту $H$:

$H^2 = l^2 - R^2$

$H^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$

$H = \sqrt{144} = 12$ см.

Теперь, зная радиус $R = 5$ см и высоту $H = 12$ см, мы можем вычислить объём конуса:

$V = \frac{1}{3} \pi R^2 H = \frac{1}{3} \pi \cdot 5^2 \cdot 12 = \frac{1}{3} \pi \cdot 25 \cdot 12 = \pi \cdot 25 \cdot \frac{12}{3} = \pi \cdot 25 \cdot 4 = 100\pi$ см³.

Ответ: $100\pi$ см³.

308. Основанием пирамиды является прямоугольник, одна из сторон которого равна $a$ и образует с диагональю основания угол $\alpha$. Каждое боковое ребро пирамиды образует с её высотой угол $\beta$. Найдите объём конуса, описанного около пирамиды.

308. Основанием пирамиды является прямоугольник, одна из сторон которого равна $a$ и образует с диагональю основания угол $\alpha$. Каждое боковое ребро пирамиды образует с её высотой угол $\beta$. Найдите объём конуса, описанного около пирамиды.

Для решения задачи необходимо найти радиус основания $R$ и высоту $H$ конуса, описанного около пирамиды. Объем конуса вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}\pi R^2 H$.

Конус, описанный около пирамиды, имеет общую с ней вершину, а его основанием является окружность, описанная около основания пирамиды. Следовательно, высота конуса равна высоте пирамиды, а радиус основания конуса равен радиусу окружности, описанной около прямоугольника.

1. Найдем радиус основания конуса R

Радиус окружности, описанной около прямоугольника, равен половине его диагонали $d$. Таким образом, $R = \frac{d}{2}$.

Рассмотрим основание пирамиды – прямоугольник. Пусть одна его сторона равна $a$, а диагональ равна $d$. По условию, угол между этой стороной и диагональю равен $\alpha$. В прямоугольном треугольнике, образованном стороной $a$, смежной с ней стороной и диагональю $d$ (которая является гипотенузой), справедливо соотношение:

$\cos \alpha = \frac{a}{d}$

Отсюда выразим диагональ:

$d = \frac{a}{\cos \alpha}$

Теперь найдем радиус $R$ основания конуса:

$R = \frac{d}{2} = \frac{a}{2\cos \alpha}$

2. Найдем высоту конуса H

Поскольку каждое боковое ребро пирамиды образует с её высотой одинаковый угол $\beta$, вершина пирамиды проецируется в центр окружности, описанной около основания. Для прямоугольника это точка пересечения диагоналей. Высота конуса $H$ совпадает с высотой пирамиды.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, боковым ребром и проекцией этого ребра на основание. Проекцией бокового ребра на основание является радиус $R$ описанной окружности. В этом треугольнике высота $H$ является катетом, прилежащим к углу $\beta$, а радиус $R$ — катетом, противолежащим этому углу. Следовательно:

$\tan \beta = \frac{R}{H}$

Выразим высоту $H$:

$H = \frac{R}{\tan \beta} = R \cot \beta$

Подставим найденное ранее значение $R$:

$H = \frac{a}{2\cos \alpha} \cdot \cot \beta = \frac{a \cot \beta}{2\cos \alpha}$

3. Найдем объем конуса V

Теперь, зная $R$ и $H$, подставим их в формулу объема конуса:

$V = \frac{1}{3}\pi R^2 H = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{a}{2\cos \alpha}\right)^2 \left(\frac{a \cot \beta}{2\cos \alpha}\right)$

Упростим полученное выражение:

$V = \frac{1}{3}\pi \cdot \frac{a^2}{4\cos^2 \alpha} \cdot \frac{a \cot \beta}{2\cos \alpha}$

$V = \frac{\pi a^3 \cot \beta}{3 \cdot 4 \cdot 2 \cdot \cos^3 \alpha} = \frac{\pi a^3 \cot \beta}{24 \cos^3 \alpha}$

Ответ: $ \frac{\pi a^3 \cot \beta}{24 \cos^3 \alpha} $.

309. Основанием пирамиды является равнобокая трапе-ция, площадь которой равна $36\sqrt{2}$ см$^2$, а острый угол — $45^\circ$. Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $30^\circ$. Найдите объём конуса, вписан-ного в данную пирамиду.

309. Основанием пирамиды является равнобокая трапеция, площадь которой равна $36\sqrt{2}$ см², а острый угол — $45^\circ$. Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $30^\circ$. Найдите объём конуса, вписанного в данную пирамиду.

Для нахождения объёма конуса, вписанного в пирамиду, воспользуемся формулой $V = \frac{1}{3}\pi R^2 H$, где $R$ — радиус основания конуса, а $H$ — его высота.

Основанием вписанного конуса является окружность, вписанная в основание пирамиды (равнобокую трапецию). Высота конуса совпадает с высотой пирамиды.

Так как все двугранные углы при рёбрах основания пирамиды равны, то вершина пирамиды проецируется в центр окружности, вписанной в основание. Это означает, что в равнобокую трапецию, лежащую в основании, можно вписать окружность.

1. Найдем радиус основания конуса R.

Радиус окружности, вписанной в трапецию, равен половине её высоты: $R = \frac{h_{трап}}{2}$.

Площадь трапеции, в которую можно вписать окружность, можно выразить через её высоту и боковую сторону. Пусть $a$ и $b$ — основания трапеции, $c$ — боковая сторона. Для описанной трапеции справедливо равенство $a+b=2c$. Тогда площадь $S_{трап} = \frac{a+b}{2}h_{трап} = \frac{2c}{2}h_{трап} = c \cdot h_{трап}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой $h_{трап}$, боковой стороной $c$ и отрезком большего основания. Острый угол в этом треугольнике равен острому углу трапеции, то есть $45°$.

Из соотношений в этом треугольнике имеем: $\sin(45°) = \frac{h_{трап}}{c}$.

Отсюда выразим боковую сторону: $c = \frac{h_{трап}}{\sin(45°)} = \frac{h_{трап}}{\sqrt{2}/2} = h_{трап}\sqrt{2}$.

Подставим это выражение в формулу площади: $S_{трап} = (h_{трап}\sqrt{2}) \cdot h_{трап} = h_{трап}^2\sqrt{2}$.

По условию задачи, площадь трапеции равна $36\sqrt{2}$ см². Составим уравнение:

$h_{трап}^2\sqrt{2} = 36\sqrt{2}$

$h_{трап}^2 = 36$

$h_{трап} = 6$ см.

Теперь можем найти радиус основания конуса:

$R = \frac{h_{трап}}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.

2. Найдем высоту конуса H.

Высота конуса $H$ равна высоте пирамиды. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, радиусом вписанной окружности $R$ и апофемой боковой грани. В этом треугольнике $H$ и $R$ являются катетами. Угол между апофемой и радиусом, проведённым в точку касания, является линейным углом двугранного угла при ребре основания и по условию равен $30°$.

Из этого треугольника находим соотношение: $\tan(30°) = \frac{H}{R}$.

Выразим высоту $H$:

$H = R \cdot \tan(30°) = 3 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$ см.

3. Найдем объём конуса.

Подставим найденные значения $R=3$ см и $H=\sqrt{3}$ см в формулу объёма конуса:

$V = \frac{1}{3}\pi R^2 H = \frac{1}{3}\pi \cdot 3^2 \cdot \sqrt{3} = \frac{1}{3}\pi \cdot 9 \cdot \sqrt{3} = 3\pi\sqrt{3}$ см³.

Ответ: $3\pi\sqrt{3}$ см³.

310. Основанием пирамиды является равнобедренный тре- угольник, боковая сторона которого равна $a$, а угол между боковыми сторонами — $\beta$. Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $\varphi$. Найдите объём конуса, вписанного в данную пирамиду.

310. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник, боковая сторона которого равна $a$, а угол между боковыми сторонами — $\beta$. Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $\phi$. Найдите объём конуса, вписанного в данную пирамиду.

Объем конуса вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} \pi R^2 H$, где $R$ – радиус основания конуса, а $H$ – его высота. Так как конус вписан в пирамиду, его основание является окружностью, вписанной в основание пирамиды, а его вершина совпадает с вершиной пирамиды. Следовательно, радиус основания конуса $R$ равен радиусу $r$ окружности, вписанной в треугольник в основании пирамиды, а высота конуса $H$ равна высоте пирамиды.

Для решения задачи нам необходимо найти радиус $r$ и высоту $H$.

1. Нахождение радиуса $r$ вписанной окружности.

Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник с боковыми сторонами, равными $a$, и углом $\beta$ между ними. Радиус вписанной в треугольник окружности можно найти по формуле $r = \frac{S}{p}$, где $S$ – площадь треугольника, а $p$ – его полупериметр.

Найдем площадь треугольника $S$:
$S = \frac{1}{2} a \cdot a \cdot \sin\beta = \frac{1}{2} a^2 \sin\beta$.

Найдем третью сторону треугольника (его основание $c$) по теореме косинусов:
$c^2 = a^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot a \cdot \cos\beta = 2a^2(1 - \cos\beta)$.
Используя формулу $1 - \cos\beta = 2\sin^2(\frac{\beta}{2})$, получим:
$c^2 = 2a^2 \cdot 2\sin^2(\frac{\beta}{2}) = 4a^2\sin^2(\frac{\beta}{2})$, откуда $c = 2a\sin(\frac{\beta}{2})$.

Найдем полупериметр $p$:
$p = \frac{a + a + c}{2} = \frac{2a + 2a\sin(\frac{\beta}{2})}{2} = a(1 + \sin(\frac{\beta}{2}))$.

Теперь вычислим радиус $r$:
$r = \frac{S}{p} = \frac{\frac{1}{2} a^2 \sin\beta}{a(1 + \sin(\frac{\beta}{2}))} = \frac{a \sin\beta}{2(1 + \sin(\frac{\beta}{2}))}$.
Применим формулу двойного угла $\sin\beta = 2\sin(\frac{\beta}{2})\cos(\frac{\beta}{2})$:
$r = \frac{a \cdot 2\sin(\frac{\beta}{2})\cos(\frac{\beta}{2})}{2(1 + \sin(\frac{\beta}{2}))} = \frac{a \sin(\frac{\beta}{2})\cos(\frac{\beta}{2})}{1 + \sin(\frac{\beta}{2})}$.
Чтобы упростить выражение, умножим числитель и знаменатель на $(1 - \sin(\frac{\beta}{2}))$:
$r = \frac{a \sin(\frac{\beta}{2})\cos(\frac{\beta}{2})(1 - \sin(\frac{\beta}{2}))}{(1 + \sin(\frac{\beta}{2}))(1 - \sin(\frac{\beta}{2}))} = \frac{a \sin(\frac{\beta}{2})\cos(\frac{\beta}{2})(1 - \sin(\frac{\beta}{2}))}{1 - \sin^2(\frac{\beta}{2})}$.
Так как $1 - \sin^2(\frac{\beta}{2}) = \cos^2(\frac{\beta}{2})$, получаем:
$r = \frac{a \sin(\frac{\beta}{2})\cos(\frac{\beta}{2})(1 - \sin(\frac{\beta}{2}))}{\cos^2(\frac{\beta}{2})} = a \frac{\sin(\frac{\beta}{2})}{\cos(\frac{\beta}{2})}(1 - \sin(\frac{\beta}{2})) = a \tan(\frac{\beta}{2})(1 - \sin(\frac{\beta}{2}))$.

2. Нахождение высоты $H$ пирамиды.

По условию, все двугранные углы при ребрах основания равны $\phi$. Это означает, что вершина пирамиды проецируется в центр вписанной в основание окружности. Таким образом, высота пирамиды $H$ соединяет вершину пирамиды с центром вписанной окружности основания.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, радиусом вписанной окружности $r$ и апофемой боковой грани. Катетами этого треугольника являются $H$ и $r$. Угол, противолежащий катету $H$, является линейным углом двугранного угла и равен $\phi$.
Из соотношения в прямоугольном треугольнике имеем:
$\tan\phi = \frac{H}{r}$, откуда $H = r \tan\phi$.

3. Вычисление объема конуса $V$.

Подставим найденные выражения для $r$ и $H$ в формулу объема конуса:
$V = \frac{1}{3} \pi r^2 H = \frac{1}{3} \pi r^2 (r \tan\phi) = \frac{1}{3} \pi r^3 \tan\phi$.
Теперь подставим выражение для $r$:
$V = \frac{1}{3} \pi \left( a \tan(\frac{\beta}{2})(1 - \sin(\frac{\beta}{2})) \right)^3 \tan\phi$.

Окончательно получаем:
$V = \frac{1}{3} \pi a^3 \tan^3(\frac{\beta}{2})(1 - \sin(\frac{\beta}{2}))^3 \tan\phi$.

Ответ: $V = \frac{1}{3} \pi a^3 \tan^3\left(\frac{\beta}{2}\right)\left(1 - \sin\left(\frac{\beta}{2}\right)\right)^3 \tan\phi$.

311. Отрезки SA, SB и SC – образующие конуса. Найдите его объём, если $SA = a$, $\angle SAB = \angle SBC = \angle SAC = \alpha$.

311. Отрезки $SA$, $SB$ и $SC$ — образующие конуса. Найдите его объём, если $SA = a$, $\angle SAB = \angle SBC = \angle SAC = \alpha$.

Для нахождения объёма конуса воспользуемся формулой $V = \frac{1}{3} \pi R^2 H$, где $R$ — это радиус основания конуса, а $H$ — его высота.

По условию, SA, SB и SC являются образующими конуса. Это значит, что S — вершина конуса, а точки A, B и C лежат на окружности его основания. Все образующие конуса равны по длине, поэтому $SA = SB = SC = a$.

Рассмотрим треугольники $\triangle SAB$, $\triangle SAC$ и $\triangle SBC$.

1. Треугольник $\triangle SAB$ является равнобедренным, так как $SA = SB = a$. По условию $\angle SAB = \alpha$, следовательно, угол при другом основании также равен $\alpha$, то есть $\angle SBA = \alpha$.

2. Аналогично, треугольник $\triangle SAC$ является равнобедренным ($SA = SC = a$), и из $\angle SAC = \alpha$ следует, что $\angle SCA = \alpha$.

3. Треугольник $\triangle SBC$ также является равнобедренным ($SB = SC = a$), и из $\angle SBC = \alpha$ следует, что $\angle SCB = \alpha$.

Теперь найдем длины сторон треугольника $\triangle ABC$, который лежит в основании конуса. Для этого в каждом из равнобедренных треугольников найдем длину основания. Например, в $\triangle SAB$ длину стороны AB можно найти по теореме косинусов или спроецировав боковые стороны на основание. Длина стороны AB равна $AB = 2 \cdot SA \cdot \cos(\angle SAB) = 2a \cos(\alpha)$.

Аналогично находим длины сторон AC и BC:

$AC = 2a \cos(\alpha)$ (из $\triangle SAC$).

$BC = 2a \cos(\alpha)$ (из $\triangle SBC$).

Так как $AB = BC = AC = 2a \cos(\alpha)$, то треугольник $\triangle ABC$ в основании конуса является равносторонним.

Радиус основания конуса $R$ — это радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника $\triangle ABC$. Для равностороннего треугольника со стороной $s$ радиус описанной окружности вычисляется по формуле $R = \frac{s}{\sqrt{3}}$.

Подставим в эту формулу длину стороны $s = 2a \cos(\alpha)$:

$R = \frac{2a \cos(\alpha)}{\sqrt{3}}$.

Высота конуса $H$, радиус основания $R$ и образующая $a$ образуют прямоугольный треугольник, в котором образующая является гипотенузой. По теореме Пифагора: $H^2 + R^2 = a^2$. Отсюда выразим высоту $H$:

$H = \sqrt{a^2 - R^2} = \sqrt{a^2 - \left(\frac{2a \cos(\alpha)}{\sqrt{3}}\right)^2} = \sqrt{a^2 - \frac{4a^2 \cos^2(\alpha)}{3}}$.

Вынесем $a^2$ за скобки под корнем и приведем к общему знаменателю:

$H = \sqrt{a^2 \left(1 - \frac{4 \cos^2(\alpha)}{3}\right)} = a \sqrt{\frac{3 - 4 \cos^2(\alpha)}{3}} = \frac{a \sqrt{3 - 4 \cos^2(\alpha)}}{\sqrt{3}}$.

Теперь, имея выражения для $R$ и $H$, мы можем вычислить объём конуса:

$V = \frac{1}{3} \pi R^2 H = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{2a \cos(\alpha)}{\sqrt{3}}\right)^2 \left(\frac{a \sqrt{3 - 4 \cos^2(\alpha)}}{\sqrt{3}}\right)$.

Упростим полученное выражение:

$V = \frac{1}{3} \pi \frac{4a^2 \cos^2(\alpha)}{3} \cdot \frac{a \sqrt{3 - 4 \cos^2(\alpha)}}{\sqrt{3}} = \frac{4 \pi a^3 \cos^2(\alpha) \sqrt{3 - 4 \cos^2(\alpha)}}{9\sqrt{3}}$.

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$V = \frac{4 \pi a^3 \cos^2(\alpha) \sqrt{3 - 4 \cos^2(\alpha)} \cdot \sqrt{3}}{9\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3} \pi a^3 \cos^2(\alpha) \sqrt{3 - 4 \cos^2(\alpha)}}{27}$.

Ответ: $V = \frac{4\sqrt{3} \pi a^3 \cos^2(\alpha) \sqrt{3 - 4 \cos^2(\alpha)}}{27}$.

312. Радиусы оснований усечённого конуса равны 5 см и 7 см, а его высота — 4 см. Найдите объём усечённого конуса.

312. Радиусы оснований усечённого конуса равны 5 см и 7 см, а его высота – 4 см. Найдите объём усечённого конуса.

Для нахождения объёма усечённого конуса используется формула:

$V = \frac{1}{3} \pi h (R^2 + Rr + r^2)$

где $V$ – искомый объём, $h$ – высота усечённого конуса, $R$ и $r$ – радиусы его оснований.

По условию задачи даны:

• Радиус большего основания $R = 7$ см;
• Радиус меньшего основания $r = 5$ см;
• Высота $h = 4$ см.

Подставим эти значения в формулу:

$V = \frac{1}{3} \pi \cdot 4 \cdot (7^2 + 7 \cdot 5 + 5^2)$

Выполним вычисления поэтапно. Сначала найдём значение выражения в скобках:

$7^2 + 7 \cdot 5 + 5^2 = 49 + 35 + 25 = 109$

Теперь подставим полученный результат в формулу для объёма:

$V = \frac{1}{3} \pi \cdot 4 \cdot 109$

$V = \frac{436\pi}{3}$

Таким образом, объём усечённого конуса равен $\frac{436\pi}{3}$ см³.

Ответ: $\frac{436\pi}{3}$ см³.

313. В усечённом конусе образующая равна 5 см, высота — 3 см, а радиус большего основания — 7 см. Найдите объём усечённого конуса.

313. В усечённом конусе образующая равна 5 см, высота — 3 см, а радиус большего основания — 7 см. Найдите объём усечённого конуса.

Для нахождения объёма усечённого конуса используется формула:
$V = \frac{1}{3} \pi h (R^2 + Rr + r^2)$,
где $h$ — высота конуса, $R$ — радиус большего основания, $r$ — радиус меньшего основания.

По условию задачи нам даны:
образующая $l = 5$ см,
высота $h = 3$ см,
радиус большего основания $R = 7$ см.

Чтобы использовать формулу объёма, нам необходимо найти радиус меньшего основания $r$. Связь между высотой, образующей и радиусами оснований в усечённом конусе можно найти, рассмотрев его осевое сечение, которое представляет собой равнобедренную трапецию. Если в этой трапеции провести высоту из вершины меньшего основания, получится прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является образующая $l$, одним катетом — высота конуса $h$, а вторым катетом — разность радиусов $R - r$.

По теореме Пифагора:
$l^2 = h^2 + (R - r)^2$

Подставим известные значения и найдём $r$:
$5^2 = 3^2 + (7 - r)^2$
$25 = 9 + (7 - r)^2$
$(7 - r)^2 = 25 - 9$
$(7 - r)^2 = 16$
Так как $R > r$, то $R - r > 0$, поэтому извлекаем положительный корень:
$7 - r = 4$
$r = 7 - 4$
$r = 3$ см.

Теперь, когда все необходимые величины известны ($h=3$, $R=7$, $r=3$), можем вычислить объём усечённого конуса:
$V = \frac{1}{3} \pi \cdot 3 \cdot (7^2 + 7 \cdot 3 + 3^2)$
$V = \pi (49 + 21 + 9)$
$V = \pi (79)$
$V = 79\pi$ см³

Ответ: $79\pi$ см³

314. Радиусы оснований усечённого конуса относятся как $3 : 7$, а высота равна 8 см. Угол между высотой усечённого конуса и его образующей равен $60^\circ$. Найдите объём усечённого конуса.

314. Радиусы оснований усечённого конуса относятся как 3 : 7, а высота равна 8 см. Угол между высотой усечённого конуса и его образующей равен $60^\circ$. Найдите объём усечённого конуса.

Обозначим радиусы оснований усеченного конуса как $r$ и $R$ (где $r$ – радиус меньшего основания, а $R$ – радиус большего основания), высоту – $h$.

Согласно условию задачи:
1. Отношение радиусов: $\frac{r}{R} = \frac{3}{7}$.
2. Высота конуса: $h = 8$ см.
3. Угол между высотой и образующей: $\alpha = 60^\circ$.

Формула для вычисления объема усеченного конуса:
$V = \frac{1}{3}\pi h (R^2 + Rr + r^2)$.

Для вычисления объема необходимо найти значения радиусов $R$ и $r$. Из соотношения радиусов введем коэффициент пропорциональности $k$:
$r = 3k$
$R = 7k$

Рассмотрим осевое сечение усеченного конуса. Оно имеет форму равнобокой трапеции. Если провести высоту из вершины меньшего основания к большему, образуется прямоугольный треугольник. Катетами этого треугольника являются высота усеченного конуса $h$ и разность радиусов его оснований $(R-r)$. Угол, прилежащий к катету $h$ (угол между высотой и образующей), равен $60^\circ$.

Из этого прямоугольного треугольника можно найти соотношение между катетами через тангенс угла $\alpha$:
$\tan(\alpha) = \frac{R-r}{h}$

Подставим известные значения $h=8$ и $\alpha=60^\circ$:
$\tan(60^\circ) = \frac{R-r}{8}$
Поскольку $\tan(60^\circ) = \sqrt{3}$, получаем:
$\sqrt{3} = \frac{R-r}{8}$
$R-r = 8\sqrt{3}$ см.

Теперь подставим в полученное равенство выражения для $R$ и $r$ через $k$:
$7k - 3k = 8\sqrt{3}$
$4k = 8\sqrt{3}$
$k = \frac{8\sqrt{3}}{4} = 2\sqrt{3}$ см.

Теперь мы можем найти точные значения радиусов:
$r = 3k = 3 \cdot 2\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$ см.
$R = 7k = 7 \cdot 2\sqrt{3} = 14\sqrt{3}$ см.

Подставим найденные значения $h$, $r$ и $R$ в формулу для объема усеченного конуса:
$V = \frac{1}{3}\pi \cdot 8 \cdot ((14\sqrt{3})^2 + (14\sqrt{3})(6\sqrt{3}) + (6\sqrt{3})^2)$

Выполним вычисления для выражения в скобках:
$R^2 = (14\sqrt{3})^2 = 14^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 196 \cdot 3 = 588$.
$Rr = (14\sqrt{3})(6\sqrt{3}) = 14 \cdot 6 \cdot (\sqrt{3})^2 = 84 \cdot 3 = 252$.
$r^2 = (6\sqrt{3})^2 = 6^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 36 \cdot 3 = 108$.

Сумма этих значений:
$R^2 + Rr + r^2 = 588 + 252 + 108 = 948$.

Теперь завершим вычисление объема:
$V = \frac{1}{3}\pi \cdot 8 \cdot 948 = \pi \cdot 8 \cdot \frac{948}{3} = \pi \cdot 8 \cdot 316 = 2528\pi$ см$^3$.

Ответ: $2528\pi$ см$^3$.

315. Диагонали осевого сечения усечённого конуса делят- ся точкой пересечения в отношении 5 : 2, а средняя линия этого сечения равна 14 см. Найдите объём усе- чённого конуса, если его образующая равна $6\sqrt{5}$ см.

315. Диагонали осевого сечения усечённого конуса делятся точкой пересечения в отношении 5 : 2, а средняя линия этого сечения равна 14 см. Найдите объём усечённого конуса, если его образующая равна $6\sqrt{5}$ см.

Осевое сечение усечённого конуса является равнобокой трапецией. Пусть $R$ и $r$ — радиусы большего и меньшего оснований конуса соответственно ($R > r$), $H$ — его высота, а $l$ — образующая. Основаниями трапеции служат диаметры оснований конуса ($2R$ и $2r$), а боковыми сторонами — образующие $l$.

Нахождение радиусов оснований

Средняя линия $m$ осевого сечения (трапеции) по определению равна полусумме её оснований:

$m = \frac{2R + 2r}{2} = R + r$

По условию $m = 14$ см, следовательно, мы получаем первое уравнение:

$R + r = 14$

Диагонали трапеции, пересекаясь, образуют два подобных треугольника, прилежащих к основаниям. Отношение их соответственных сторон равно отношению оснований трапеции. По условию, диагонали делятся точкой пересечения в отношении $5:2$. Следовательно, отношение оснований трапеции также равно $5:2$.

$\frac{2R}{2r} = \frac{5}{2}$

Отсюда получаем второе уравнение:

$R = \frac{5}{2}r$

Решим полученную систему уравнений:

$\begin{cases} R + r = 14 \\ R = \frac{5}{2}r \end{cases}$

Подставим выражение для $R$ из второго уравнения в первое:

$\frac{5}{2}r + r = 14$

$\frac{7}{2}r = 14$

$r = 14 \cdot \frac{2}{7} = 4$ см.

Теперь найдём $R$:

$R = 14 - r = 14 - 4 = 10$ см.

Таким образом, радиусы оснований равны $R = 10$ см и $r = 4$ см.

Нахождение высоты конуса

Высоту $H$ усечённого конуса можно найти, рассмотрев прямоугольный треугольник, катетами которого являются высота $H$ и разность радиусов оснований $(R-r)$, а гипотенузой — образующая $l$. По теореме Пифагора:

$l^2 = H^2 + (R-r)^2$

Из условия известно, что образующая $l = 6\sqrt{5}$ см. Подставим известные значения $l$, $R$ и $r$ в формулу:

$(6\sqrt{5})^2 = H^2 + (10-4)^2$

$36 \cdot 5 = H^2 + 6^2$

$180 = H^2 + 36$

$H^2 = 180 - 36 = 144$

$H = \sqrt{144} = 12$ см.

Вычисление объёма усечённого конуса

Формула для вычисления объёма усечённого конуса:

$V = \frac{1}{3}\pi H (R^2 + Rr + r^2)$

Подставим все найденные значения $H=12$ см, $R=10$ см, $r=4$ см в формулу:

$V = \frac{1}{3}\pi \cdot 12 \cdot (10^2 + 10 \cdot 4 + 4^2)$

$V = 4\pi \cdot (100 + 40 + 16)$

$V = 4\pi \cdot 156$

$V = 624\pi$ см$^3$.

Ответ: $624\pi$ см$^3$.