Номер 308, страница 73 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

308. Основанием пирамиды является прямоугольник, одна из сторон которого равна $a$ и образует с диагональю основания угол $\alpha$. Каждое боковое ребро пирамиды образует с её высотой угол $\beta$. Найдите объём конуса, описанного около пирамиды.

308. Основанием пирамиды является прямоугольник, одна из сторон которого равна $a$ и образует с диагональю основания угол $\alpha$. Каждое боковое ребро пирамиды образует с её высотой угол $\beta$. Найдите объём конуса, описанного около пирамиды.

Для решения задачи необходимо найти радиус основания $R$ и высоту $H$ конуса, описанного около пирамиды. Объем конуса вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}\pi R^2 H$.

Конус, описанный около пирамиды, имеет общую с ней вершину, а его основанием является окружность, описанная около основания пирамиды. Следовательно, высота конуса равна высоте пирамиды, а радиус основания конуса равен радиусу окружности, описанной около прямоугольника.

1. Найдем радиус основания конуса R

Радиус окружности, описанной около прямоугольника, равен половине его диагонали $d$. Таким образом, $R = \frac{d}{2}$.

Рассмотрим основание пирамиды – прямоугольник. Пусть одна его сторона равна $a$, а диагональ равна $d$. По условию, угол между этой стороной и диагональю равен $\alpha$. В прямоугольном треугольнике, образованном стороной $a$, смежной с ней стороной и диагональю $d$ (которая является гипотенузой), справедливо соотношение:

$\cos \alpha = \frac{a}{d}$

Отсюда выразим диагональ:

$d = \frac{a}{\cos \alpha}$

Теперь найдем радиус $R$ основания конуса:

$R = \frac{d}{2} = \frac{a}{2\cos \alpha}$

2. Найдем высоту конуса H

Поскольку каждое боковое ребро пирамиды образует с её высотой одинаковый угол $\beta$, вершина пирамиды проецируется в центр окружности, описанной около основания. Для прямоугольника это точка пересечения диагоналей. Высота конуса $H$ совпадает с высотой пирамиды.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, боковым ребром и проекцией этого ребра на основание. Проекцией бокового ребра на основание является радиус $R$ описанной окружности. В этом треугольнике высота $H$ является катетом, прилежащим к углу $\beta$, а радиус $R$ — катетом, противолежащим этому углу. Следовательно:

$\tan \beta = \frac{R}{H}$

Выразим высоту $H$:

$H = \frac{R}{\tan \beta} = R \cot \beta$

Подставим найденное ранее значение $R$:

$H = \frac{a}{2\cos \alpha} \cdot \cot \beta = \frac{a \cot \beta}{2\cos \alpha}$

3. Найдем объем конуса V

Теперь, зная $R$ и $H$, подставим их в формулу объема конуса:

$V = \frac{1}{3}\pi R^2 H = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{a}{2\cos \alpha}\right)^2 \left(\frac{a \cot \beta}{2\cos \alpha}\right)$

Упростим полученное выражение:

$V = \frac{1}{3}\pi \cdot \frac{a^2}{4\cos^2 \alpha} \cdot \frac{a \cot \beta}{2\cos \alpha}$

$V = \frac{\pi a^3 \cot \beta}{3 \cdot 4 \cdot 2 \cdot \cos^3 \alpha} = \frac{\pi a^3 \cot \beta}{24 \cos^3 \alpha}$

Ответ: $ \frac{\pi a^3 \cot \beta}{24 \cos^3 \alpha} $.