Номер 88, страница 84 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

88. Точка C принадлежит биссектору двугранного угла и удалена от его ребра на 7 см. Найдите расстояние от точки C до граней двугранного угла, если величина этого угла равна $60^\circ$.

88. Точка С принадлежит биссектору двугранного угла и удалена от его ребра на 7 см. Найдите расстояние от точки С до граней двугранного угла, если величина этого угла равна $60^\circ$.

Пусть данный двугранный угол образован полуплоскостями $\alpha$ и $\beta$ с общим ребром $a$. Величина этого угла по условию равна $60^\circ$.
Точка $C$ принадлежит биссекторной плоскости этого угла. Это означает, что точка $C$ равноудалена от граней $\alpha$ и $\beta$.
Расстояние от точки до плоскости - это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Нам нужно найти это расстояние.

Пусть $O$ - проекция точки $C$ на ребро $a$. Тогда отрезок $CO$ перпендикулярен ребру $a$, и его длина является расстоянием от точки $C$ до ребра. По условию, $CO = 7$ см.

Проведем из точки $C$ перпендикуляр $CA$ к плоскости $\alpha$. Длина отрезка $CA$ и есть искомое расстояние от точки $C$ до грани $\alpha$.

Рассмотрим треугольник $\triangle OAC$. Так как $CA \perp \alpha$, а прямая $OA$ лежит в плоскости $\alpha$, то $CA \perp OA$. Следовательно, треугольник $\triangle OAC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $A$.

Угол $\angle COA$ является линейным углом между биссекторной плоскостью и гранью $\alpha$. Так как биссекторная плоскость делит двугранный угол пополам, то величина этого угла равна половине величины двугранного угла:

$\angle COA = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$

В прямоугольном треугольнике $\triangle OAC$ известны гипотенуза $CO = 7$ см и угол $\angle COA = 30^\circ$. Катет $CA$, лежащий напротив этого угла, равен произведению гипотенузы на синус этого угла:

$CA = CO \cdot \sin(\angle COA)$

Подставим известные значения:

$CA = 7 \cdot \sin(30^\circ) = 7 \cdot \frac{1}{2} = 3.5$ см.

Поскольку точка $C$ лежит на биссекторе, она равноудалена от обеих граней двугранного угла. Таким образом, расстояние от точки $C$ до граней двугранного угла равно 3,5 см.

Ответ: 3,5 см.