Номер 24, страница 78 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

24. На рисунке 23 изображён куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Верно ли утверждение:

Рис. 23

1) $\vec{DD_1} \parallel \vec{C_1C}$;

2) $\vec{DD_1} \uparrow\uparrow \vec{C_1C}$;

3) $\vec{DD_1} \uparrow\uparrow \vec{BB_1}$;

4) $\vec{DD_1} \uparrow\downarrow \vec{D_1D}$;

5) $|\vec{A_1D}| = |\vec{BC_1}|$;

6) $\vec{DD_1} = \vec{DA}$;

7) $\vec{DD_1} = \vec{AA_1}$;

8) $\vec{DD_1} = \vec{C_1C}$;

9) $\vec{A_1D} = \vec{B_1C}$?

24. На рисунке 23 изображён куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Верно ли утверждение:

Рис. 23

1) $\vec{DD_1} \parallel \vec{C_1C}$;

2) $\vec{DD_1} \uparrow\uparrow \vec{C_1C}$;

3) $\vec{DD_1} \uparrow\uparrow \vec{BB_1}$;

4) $\vec{DD_1} \uparrow\downarrow \vec{D_1D}$;

5) $\left|\vec{A_1D}\right| = \left|\vec{BC_1}\right|$;

6) $\vec{DD_1} = \vec{DA}$;

7) $\vec{DD_1} = \vec{AA_1}$;

8) $\vec{DD_1} = \vec{C_1C}$;

9) $\vec{A_1D} = \vec{B_1C}$?

1) $DD_1 \parallel C_1C$

В кубе все боковые ребра параллельны между собой. Ребра $DD_1$ и $CC_1$ являются боковыми ребрами, следовательно, прямые, содержащие эти ребра, параллельны. Отрезок $C_1C$ лежит на той же прямой, что и $CC_1$. Таким образом, утверждение о параллельности прямых $DD_1$ и $C_1C$ верно.
Ответ: Верно

2) $\vec{DD_1} \uparrow \uparrow \vec{C_1C}$

Два вектора называются сонаправленными (обозначается $\uparrow \uparrow$), если они коллинеарны (лежат на параллельных прямых или на одной прямой) и направлены в одну сторону. Вектор $\vec{DD_1}$ направлен от точки $D$ к точке $D_1$ (вверх). Вектор $\vec{C_1C}$ направлен от точки $C_1$ к точке $C$ (вниз). Так как векторы направлены в противоположные стороны, они не являются сонаправленными, а являются противоположно направленными.
Ответ: Неверно

3) $\vec{DD_1} \uparrow \uparrow \vec{BB_1}$

Вектор $\vec{DD_1}$ направлен от $D$ к $D_1$ (вверх). Вектор $\vec{BB_1}$ направлен от $B$ к $B_1$ (вверх). Ребра $DD_1$ и $BB_1$ параллельны, так как являются боковыми ребрами куба. Поскольку векторы коллинеарны и направлены в одну сторону, они сонаправлены.
Ответ: Верно

4) $\vec{DD_1} \uparrow \downarrow \vec{D_1D}$

Два вектора называются противоположно направленными (обозначается $\uparrow \downarrow$), если они коллинеарны и направлены в противоположные стороны. Вектор $\vec{DD_1}$ направлен от $D$ к $D_1$ (вверх). Вектор $\vec{D_1D}$ направлен от $D_1$ к $D$ (вниз). Векторы лежат на одной прямой и направлены в противоположные стороны, следовательно, они противоположно направлены.
Ответ: Верно

5) $|\vec{A_1D}| = |\vec{BC_1}|$

Длина (модуль) вектора $|\vec{A_1D}|$ равна длине отрезка $A_1D$, который является диагональю грани $ADD_1A_1$. Длина вектора $|\vec{BC_1}|$ равна длине отрезка $BC_1$, который является диагональю грани $BCC_1B_1$. Так как $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — куб, все его грани являются равными квадратами. Диагонали равных квадратов равны. Следовательно, длины векторов $|\vec{A_1D}|$ и $|\vec{BC_1}|$ равны.
Ответ: Верно

6) $\vec{DD_1} = \vec{DA}$

Два вектора равны, если они сонаправлены и их длины равны. Ребра $DD_1$ и $DA$ перпендикулярны друг другу, так как они являются смежными ребрами куба. Следовательно, векторы $\vec{DD_1}$ и $\vec{DA}$ не коллинеарны и, значит, не могут быть равны.
Ответ: Неверно

7) $\vec{DD_1} = \vec{AA_1}$

Векторы $\vec{DD_1}$ и $\vec{AA_1}$ соответствуют боковым ребрам куба $DD_1$ и $AA_1$. Эти ребра параллельны и равны по длине. Векторы направлены в одну сторону (вверх, от нижнего основания к верхнему). Так как векторы сонаправлены и их длины равны, они равны.
Ответ: Верно

8) $\vec{DD_1} = \vec{C_1C}$

Как было показано в пункте 2, векторы $\vec{DD_1}$ и $\vec{C_1C}$ противоположно направлены. Равные векторы должны быть сонаправлены. Следовательно, эти векторы не равны. Верным было бы равенство $\vec{DD_1} = -\vec{C_1C}$ или $\vec{DD_1} = \vec{CC_1}$.
Ответ: Неверно

9) $\vec{A_1D} = \vec{B_1C}$?

Рассмотрим четырехугольник $A_1B_1CD$. В кубе ребро $A_1B_1$ параллельно и равно ребру $DC$. Если в четырехугольнике две противоположные стороны параллельны и равны, то этот четырехугольник — параллелограмм. Следовательно, $A_1B_1CD$ — это параллелограмм. В параллелограмме векторы, образованные другими двумя противоположными сторонами ($A_1D$ и $B_1C$), равны. Таким образом, $\vec{A_1D} = \vec{B_1C}$.
Ответ: Верно