Номер 227, страница 64 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

227. Высота конуса равна 18 см, а радиус вписанного в него шара – 8 см. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

227. Высота конуса равна 18 см, а радиус вписанного в него шара — 8 см. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Пусть $H$ — высота конуса, $R$ — радиус его основания, $L$ — образующая конуса, а $r$ — радиус вписанного в него шара.

По условию задачи дано:
Высота конуса $H = 18$ см.
Радиус вписанного шара $r = 8$ см.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле:
$S_{бок} = \pi R L$
Для нахождения площади нам необходимо определить значения $R$ и $L$.

Рассмотрим осевое сечение конуса, которое представляет собой равнобедренный треугольник. В этот треугольник вписана окружность, являющаяся сечением вписанного шара. Высота этого треугольника равна высоте конуса $H$, а радиус вписанной окружности равен радиусу шара $r$.

Пусть осевое сечение — это треугольник $\triangle ASB$ с вершиной $S$ и основанием $AB$, которое является диаметром основания конуса. $SO$ — высота конуса, где $O$ — центр основания. Тогда $SO = H = 18$ см, $AO = R$, $AS = L$. Центр вписанного шара $C$ лежит на высоте $SO$.

Расстояние от центра вписанного шара до основания конуса равно его радиусу, то есть $CO = r = 8$ см.Расстояние от вершины конуса до центра шара будет:
$SC = SO - CO = H - r = 18 - 8 = 10$ см.

Проведем из центра шара $C$ радиус $CK$ к точке касания с образующей $AS$. Тогда $CK \perp AS$ и $CK = r = 8$ см.

Рассмотрим два прямоугольных треугольника: $\triangle SOA$ (образован высотой, радиусом и образующей конуса) и $\triangle SKC$ (образован отрезком $SC$, радиусом $CK$ и частью образующей $SK$). Эти треугольники подобны, так как у них есть общий острый угол при вершине $S$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle SKC$ известны гипотенуза $SC = 10$ см и катет $CK = 8$ см. По теореме Пифагора найдем второй катет $SK$:
$SK = \sqrt{SC^2 - CK^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6$ см.

Из подобия треугольников $\triangle SKC \sim \triangle SOA$ следует соотношение их сторон:
$\frac{CK}{OA} = \frac{SK}{SO} = \frac{SC}{AS}$

Подставим известные значения в пропорцию:
$\frac{8}{R} = \frac{6}{18} = \frac{10}{L}$

Из соотношения $\frac{8}{R} = \frac{6}{18}$ найдем радиус основания конуса $R$:
$\frac{8}{R} = \frac{1}{3} \implies R = 8 \cdot 3 = 24$ см.

Из соотношения $\frac{10}{L} = \frac{6}{18}$ найдем образующую конуса $L$:
$\frac{10}{L} = \frac{1}{3} \implies L = 10 \cdot 3 = 30$ см.

Теперь мы можем вычислить площадь боковой поверхности конуса:
$S_{бок} = \pi R L = \pi \cdot 24 \cdot 30 = 720\pi$ см$^2$.

Ответ: $720\pi$ см$^2$.