Номер 221, страница 63 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

221. Радиус большего основания усечённого конуса равен 25 см, образующая — 30 см, а высота — 24 см. Найдите радиус сферы, описанной около данного усечённого конуса.

221. Радиус большего основания усечённого конуса равен 25 см, образующая — 30 см, а высота — 24 см. Найдите радиус сферы, описанной около данного усечённого конуса.

Обозначим радиус большего основания усечённого конуса как $R_1 = 25$ см, радиус меньшего основания как $R_2$, образующую — $l = 30$ см, а высоту — $h = 24$ см. Искомый радиус описанной сферы обозначим как $R_{сф}$.

Сфера называется описанной около усечённого конуса, если окружности обоих оснований конуса лежат на поверхности сферы. Осевое сечение усечённого конуса представляет собой равнобокую трапецию, которая вписана в большой круг описанной сферы. Таким образом, задача сводится к нахождению радиуса окружности, описанной около этой трапеции.

1. Найдём радиус меньшего основания $R_2$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса $h$, его образующей $l$ (в качестве гипотенузы) и разностью радиусов оснований $(R_1 - R_2)$ (в качестве катета). Согласно теореме Пифагора:

$l^2 = h^2 + (R_1 - R_2)^2$

Подставим известные значения:

$30^2 = 24^2 + (25 - R_2)^2$

$900 = 576 + (25 - R_2)^2$

$(25 - R_2)^2 = 900 - 576$

$(25 - R_2)^2 = 324$

$25 - R_2 = \sqrt{324}$

$25 - R_2 = 18$

$R_2 = 25 - 18 = 7$ см.

2. Найдём радиус описанной сферы $R_{сф}$.

Радиус окружности, описанной около равнобокой трапеции, равен радиусу окружности, описанной около треугольника, образованного тремя вершинами этой трапеции. Рассмотрим треугольник, образованный большим основанием трапеции и одной из её диагоналей.

Пусть осевое сечение — трапеция $ABCD$, где $AD$ — большее основание. Длина $AD$ равна диаметру большего основания конуса:

$AD = 2R_1 = 2 \cdot 25 = 50$ см.

Боковая сторона трапеции равна образующей: $AB = l = 30$ см.

Найдём длину диагонали трапеции, например, $BD$. Для этого проведём высоту $BH$ из вершины $B$ на основание $AD$. Длина отрезка $AH$ равна полуразности оснований:

$AH = \frac{AD - BC}{2} = \frac{2R_1 - 2R_2}{2} = R_1 - R_2 = 25 - 7 = 18$ см.

Тогда длина отрезка $HD$ будет:

$HD = AD - AH = 50 - 18 = 32$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $BHD$. По теореме Пифагора найдём гипотенузу $BD$ (диагональ трапеции):

$BD^2 = BH^2 + HD^2$

Поскольку $BH$ — это высота трапеции ($BH = h = 24$ см), получаем:

$BD^2 = 24^2 + 32^2 = 576 + 1024 = 1600$

$BD = \sqrt{1600} = 40$ см.

Теперь рассмотрим треугольник $ABD$, вписанный в ту же окружность. Его стороны равны $AB = 30$ см, $BD = 40$ см, $AD = 50$ см. Проверим, является ли этот треугольник прямоугольным, с помощью обратной теоремы Пифагора:

$AB^2 + BD^2 = 30^2 + 40^2 = 900 + 1600 = 2500$

$AD^2 = 50^2 = 2500$

Так как $AB^2 + BD^2 = AD^2$, треугольник $ABD$ является прямоугольным, а его гипотенуза $AD$ — диаметром описанной окружности.

Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине его гипотенузы. Этот радиус и будет радиусом описанной сферы $R_{сф}$.

$R_{сф} = \frac{AD}{2} = \frac{50}{2} = 25$ см.

Ответ: 25 см.