Номер 215, страница 63 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

215. Радиус основания цилиндра равен $R$. Диагональ осевого сечения образует с плоскостью основания угол $\alpha$. Найдите радиус шара, описанного около цилиндра.

215. Радиус основания цилиндра равен $R$. Диагональ осевого сечения образует с плоскостью основания угол $\alpha$. Найдите радиус шара, описанного около цилиндра.

Пусть радиус основания цилиндра равен $R$, а его высота — $H$. Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник, стороны которого равны диаметру основания $2R$ и высоте $H$.

Диагональ этого прямоугольника (осевого сечения), обозначим ее $d$, образует с плоскостью основания угол $\alpha$. В прямоугольнике осевого сечения эта диагональ является гипотенузой прямоугольного треугольника, катетами которого служат диаметр основания $2R$ и высота цилиндра $H$. Угол между диагональю $d$ и диаметром $2R$ как раз и равен $\alpha$.

Из определения косинуса в этом прямоугольном треугольнике имеем: $\cos(\alpha) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{2R}{d}$

Отсюда можно выразить длину диагонали осевого сечения: $d = \frac{2R}{\cos(\alpha)}$

Если шар описан около цилиндра, то окружности оснований цилиндра лежат на поверхности шара. Центр шара совпадает с центром цилиндра (серединой его оси). Диагональ осевого сечения цилиндра проходит через центр шара и соединяет две диаметрально противоположные точки на окружностях оснований. Таким образом, диагональ осевого сечения цилиндра является диаметром описанного шара.

Пусть искомый радиус шара равен $R_{ш}$. Тогда его диаметр равен $2R_{ш}$. Следовательно, $2R_{ш} = d$.

Подставим в это равенство найденное выражение для $d$: $2R_{ш} = \frac{2R}{\cos(\alpha)}$

Разделив обе части на 2, получим искомый радиус шара: $R_{ш} = \frac{R}{\cos(\alpha)}$

Ответ: $\frac{R}{\cos(\alpha)}$