Номер 226, страница 64 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

226. Радиус основания конуса равен $R$, а угол при вершине его осевого сечения равен $\alpha$. Найдите площадь большого круга шара, вписанного в конус.

226. Радиус основания конуса равен $R$, а угол при вершине его осевого сечения равен $\alpha$. Найдите площадь большого круга шара, вписанного в конус.

Рассмотрим осевое сечение конуса. Оно представляет собой равнобедренный треугольник. Шар, вписанный в конус, в этом сечении будет выглядеть как окружность, вписанная в этот треугольник. Так как осевое сечение проходит через центр шара, то эта окружность является большим кругом шара. Наша задача — найти площадь этого круга.

Пусть $r$ — радиус вписанного шара (и, соответственно, радиус большого круга), $R$ — радиус основания конуса, а $\alpha$ — угол при вершине осевого сечения.

Осевое сечение конуса — равнобедренный треугольник. Проведем в нем высоту из вершины, которая также является биссектрисой и медианой. Эта высота лежит на оси конуса. Она делит осевое сечение на два равных прямоугольных треугольника.

Рассмотрим один из этих прямоугольных треугольников. Его катеты — это высота конуса $H$ и радиус основания $R$. Угол, противолежащий катету $R$, равен половине угла при вершине, то есть $\frac{\alpha}{2}$. Угол при основании конуса (в осевом сечении) будет равен $90^\circ - \frac{\alpha}{2}$.

Центр вписанной в конус сферы лежит на его оси (на высоте осевого сечения). Этот центр является точкой пересечения биссектрис углов осевого сечения. Рассмотрим биссектрису угла при основании. Она делит угол $90^\circ - \frac{\alpha}{2}$ пополам.

Образуется новый прямоугольный треугольник, катетами которого являются радиус основания конуса $R$ и радиус вписанного шара $r$. Угол, противолежащий катету $r$, равен половине угла при основании осевого сечения: $\frac{1}{2} \left(90^\circ - \frac{\alpha}{2}\right) = 45^\circ - \frac{\alpha}{4}$.

Из соотношения сторон в этом прямоугольном треугольнике имеем: $\tan\left(45^\circ - \frac{\alpha}{4}\right) = \frac{r}{R}$.

Отсюда выражаем радиус вписанного шара $r$: $r = R \cdot \tan\left(45^\circ - \frac{\alpha}{4}\right)$.

Площадь большого круга шара вычисляется по формуле $S = \pi r^2$. Подставим найденное выражение для $r$: $S = \pi \left(R \cdot \tan\left(45^\circ - \frac{\alpha}{4}\right)\right)^2 = \pi R^2 \tan^2\left(45^\circ - \frac{\alpha}{4}\right)$.

Ответ: $S = \pi R^2 \tan^2\left(45^\circ - \frac{\alpha}{4}\right)$.