Номер 249, страница 66 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

249. Основанием наклонной призмы является квадрат. Высота призмы равна $h$. Проекцией одной из вершин верхнего основания на плоскость нижнего основания является центр нижнего основания, а боковое ребро призмы образует с её высотой угол $\beta$. Найдите объём призмы.

249. Основанием наклонной призмы является квадрат. Высота призмы равна $h$. Проекцией одной из вершин верхнего основания на плоскость нижнего основания является центр нижнего основания, а боковое ребро призмы образует с её высотой угол $\beta$. Найдите объём призмы.

Объем призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота призмы.

По условию, высота призмы равна $h$. Основанием является квадрат. Обозначим сторону квадрата как $a$. Тогда площадь основания будет $S_{осн} = a^2$. Для нахождения объема необходимо выразить сторону квадрата $a$ через известные величины.

Пусть нижнее основание призмы — это квадрат $ABCD$, а верхнее — $A_1B_1C_1D_1$. Пусть $O$ — центр нижнего основания (точка пересечения его диагоналей).

По условию, проекцией одной из вершин верхнего основания (пусть это будет вершина $A_1$) на плоскость нижнего основания является центр этого основания — точка $O$. Это означает, что отрезок $A_1O$ является высотой призмы, то есть $A_1O = h$, и $A_1O$ перпендикулярен плоскости основания $ABCD$.

Рассмотрим треугольник $\triangle A_1OA$. Он является прямоугольным, так как $\angle A_1OA = 90^\circ$ (поскольку $A_1O$ перпендикулярен всей плоскости, в которой лежит отрезок $OA$). В этом треугольнике:

• $A_1O = h$ — катет, равный высоте призмы.
• $A_1A$ — гипотенуза, являющаяся боковым ребром призмы.
• $OA$ — катет, являющийся проекцией бокового ребра $A_1A$ на плоскость основания.

По условию, боковое ребро образует с высотой призмы угол $\beta$. В нашем случае это угол между ребром $A_1A$ и высотой $A_1O$, то есть $\angle OA_1A = \beta$.

Из прямоугольного треугольника $\triangle A_1OA$ найдем длину катета $OA$ через другой катет $A_1O$ и прилежащий к нему угол $\beta$:

$\tan(\beta) = \frac{OA}{A_1O}$

Отсюда $OA = A_1O \cdot \tan(\beta) = h \cdot \tan(\beta)$.

Отрезок $OA$ является половиной диагонали квадрата $ABCD$. Если сторона квадрата равна $a$, то его диагональ $AC$ равна $a\sqrt{2}$. Следовательно:

$OA = \frac{AC}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

Теперь мы можем приравнять два полученных выражения для $OA$:

$\frac{a\sqrt{2}}{2} = h \cdot \tan(\beta)$

Выразим из этого равенства сторону квадрата $a$:

$a\sqrt{2} = 2h \cdot \tan(\beta)$

$a = \frac{2h \cdot \tan(\beta)}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}h \cdot \tan(\beta)$

Теперь найдем площадь основания призмы:

$S_{осн} = a^2 = (\sqrt{2}h \cdot \tan(\beta))^2 = 2h^2\tan^2(\beta)$

Наконец, вычислим объем призмы:

$V = S_{осн} \cdot h = (2h^2\tan^2(\beta)) \cdot h = 2h^3\tan^2(\beta)$

Ответ: $V = 2h^3\tan^2(\beta)$.