Страница 55 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

145. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 2 см, а угол при вершине — $150^\circ$. Треугольник вращается вокруг прямой, содержащей его боковую сторону. Найдите площадь поверхности тела вращения.

145. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 2 см, а угол при вершине — $150^\circ$. Треугольник вращается вокруг прямой, содержащей его боковую сторону. Найдите площадь поверхности тела вращения.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$, в котором боковые стороны $AB = AC = 2$ см, а угол при вершине $\angle BAC = 150^\circ$. Треугольник вращается вокруг прямой, содержащей сторону $AC$.

Тело вращения, полученное в результате этого вращения, состоит из двух конусов, имеющих общее основание. Поверхность этого тела представляет собой объединение боковых поверхностей этих двух конусов. Первый конус образуется вращением стороны $AB$ вокруг оси $AC$, а второй — вращением стороны $BC$ вокруг той же оси.

Площадь поверхности тела вращения $S$ равна сумме площадей боковых поверхностей двух конусов: $S = S_1 + S_2$. Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi R l$, где $R$ — радиус основания, а $l$ — длина образующей.

Для обоих конусов радиус основания $R$ будет одинаковым и равным длине высоты треугольника $ABC$, опущенной из вершины $B$ на прямую $AC$. Обозначим эту высоту как $BH$. Образующими конусов являются стороны треугольника $AB$ и $BC$.

1. Нахождение радиуса основания конусов
Радиус $R$ равен высоте $BH$. Найдем ее, вычислив площадь треугольника $ABC$ двумя способами.
С одной стороны, по формуле площади треугольника через две стороны и угол между ними:
$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot AC \cdot \sin(\angle BAC)$
$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 \cdot \sin(150^\circ) = 2 \cdot \sin(180^\circ - 30^\circ) = 2 \cdot \sin(30^\circ) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$ см$^2$.
С другой стороны, площадь этого же треугольника равна половине произведения основания $AC$ на высоту $BH$:
$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} AC \cdot BH$
Подставляем известные значения: $1 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot BH$, откуда получаем $BH = 1$ см.
Таким образом, радиус основания конусов $R = 1$ см.

2. Нахождение длин образующих конусов
Образующая первого конуса $l_1$ равна стороне $AB$, то есть $l_1 = 2$ см.
Образующая второго конуса $l_2$ равна стороне $BC$. Найдем длину $BC$ по теореме косинусов для треугольника $ABC$:
$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\angle BAC)$
$BC^2 = 2^2 + 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \cos(150^\circ)$
Так как $\cos(150^\circ) = -\cos(30^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, то:
$BC^2 = 4 + 4 - 8 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = 8 + 4\sqrt{3}$.
Следовательно, $l_2 = BC = \sqrt{8 + 4\sqrt{3}} = \sqrt{8 + 2\sqrt{12}}$.
Используя формулу сложного радикала $\sqrt{A \pm \sqrt{B}} = \sqrt{\frac{A+C}{2}} \pm \sqrt{\frac{A-C}{2}}$, где $C=\sqrt{A^2-B}$, или подбором, получаем:$l_2 = \sqrt{(\sqrt{6} + \sqrt{2})^2} = \sqrt{6} + \sqrt{2}$ см.

3. Вычисление площади поверхности тела вращения
Полная площадь поверхности $S$ равна сумме площадей боковых поверхностей двух конусов:
$S = S_1 + S_2 = \pi R l_1 + \pi R l_2 = \pi R (l_1 + l_2)$
Подставим найденные значения $R=1$, $l_1=2$ и $l_2=\sqrt{6} + \sqrt{2}$:
$S = \pi \cdot 1 \cdot (2 + (\sqrt{6} + \sqrt{2})) = (2 + \sqrt{6} + \sqrt{2})\pi$ см$^2$.

Ответ: $(2 + \sqrt{6} + \sqrt{2})\pi$ см$^2$.

146. Основания равнобокой трапеции равны 10 см и 42 см, а боковая сторона — 20 см. Трапеция вращается вокруг прямой, содержащей большее основание. Найдите площадь поверхности тела вращения.

146. Основания равнобокой трапеции равны 10 см и 42 см, а боковая сторона — 20 см. Трапеция вращается вокруг прямой, содержащей большее основание. Найдите площадь поверхности тела вращения.

Тело, полученное при вращении равнобокой трапеции вокруг ее большего основания, представляет собой комбинацию одного цилиндра и двух одинаковых конусов, присоединенных к основаниям цилиндра. Площадь поверхности этого тела равна сумме площадей боковых поверхностей цилиндра и двух конусов.

Для вычисления площадей нам необходимо найти высоту трапеции. Высота трапеции будет являться радиусом оснований как для цилиндра, так и для конусов.

Опустим высоты из вершин меньшего основания на большее. Они образуют прямоугольник и два равных прямоугольных треугольника. Катет каждого треугольника, лежащий на большем основании, равен полуразности оснований:
$x = \frac{42 - 10}{2} = \frac{32}{2} = 16$ см.

Теперь рассмотрим один из прямоугольных треугольников. Его гипотенуза — это боковая сторона трапеции ($20$ см), один катет — это найденный отрезок ($16$ см), а второй катет — это высота трапеции ($h$). По теореме Пифагора найдем высоту:
$h = \sqrt{20^2 - 16^2} = \sqrt{400 - 256} = \sqrt{144} = 12$ см.

Таким образом, радиус оснований цилиндра и конусов $r = h = 12$ см.

Теперь рассчитаем площади поверхностей.
Площадь боковой поверхности цилиндра ($S_{цил}$) вычисляется по формуле $S_{цил} = 2 \pi r h_{цил}$. Высота цилиндра $h_{цил}$ равна длине меньшего основания трапеции, то есть $10$ см.
$S_{цил} = 2 \pi \cdot 12 \cdot 10 = 240\pi$ см².

Площадь боковой поверхности конуса ($S_{кон}$) вычисляется по формуле $S_{кон} = \pi r l$. Образующая конуса $l$ равна боковой стороне трапеции, то есть $20$ см.
$S_{кон} = \pi \cdot 12 \cdot 20 = 240\pi$ см².

Полная площадь поверхности тела вращения ($S$) равна сумме площади боковой поверхности цилиндра и площадей боковых поверхностей двух конусов:
$S = S_{цил} + 2 \cdot S_{кон} = 240\pi + 2 \cdot 240\pi = 240\pi + 480\pi = 720\pi$ см².

Ответ: $720\pi$ см².

147. Радиус основания конуса равен 10 см, а высота — 24 см. На расстоянии 4,8 см от вершины конуса проведено сечение, плоскость которого параллельна плоскости основания. Найдите радиус этого сечения.

147. Радиус основания конуса равен 10 см, а высота — 24 см. На расстоянии 4,8 см от вершины конуса проведено сечение, плоскость которого параллельна плоскости основания. Найдите радиус этого сечения.

Рассмотрим осевое сечение конуса. Оно представляет собой равнобедренный треугольник. Высота этого треугольника является высотой конуса $H$, а половина основания — радиусом основания конуса $R$.

Сечение, проведенное параллельно основанию, отсекает от исходного конуса меньший конус, который подобен исходному. Осевое сечение малого конуса также является равнобедренным треугольником, подобным осевому сечению большого конуса.

Обозначим:

• $R$ — радиус основания исходного конуса, $R = 10$ см.
• $H$ — высота исходного конуса, $H = 24$ см.
• $r$ — искомый радиус сечения.
• $h$ — расстояние от вершины до сечения (высота малого конуса), $h = 4,8$ см.

Из подобия треугольников (представляющих осевые сечения конусов) следует, что отношение их соответствующих линейных размеров равно. В частности, отношение радиусов оснований равно отношению высот:

$\frac{r}{R} = \frac{h}{H}$

Выразим из этой пропорции искомый радиус $r$:

$r = R \cdot \frac{h}{H}$

Подставим известные значения и вычислим:

$r = 10 \cdot \frac{4,8}{24} = 10 \cdot \frac{48}{240} = 10 \cdot \frac{1}{5} = 2$ см.

Ответ: 2 см.

148. Площадь основания конуса равна 45 см. Плоскость, параллельная плоскости основания конуса, делит его высоту в отношении 1 : 2, считая от вершины конуса. Найдите площадь образовавшегося сечения.

148. Площадь основания конуса равна 45 см. Плоскость, параллельная плоскости основания конуса, делит его высоту в отношении $1 : 2$, считая от вершины конуса. Найдите площадь образовавшегося сечения.

Пусть $S_{осн}$ — площадь основания исходного конуса, а $S_{сеч}$ — площадь образовавшегося сечения. Пусть $H$ — высота исходного конуса, а $h$ — высота малого конуса, который отсекается от исходного плоскостью, параллельной основанию.

Сечение, образованное плоскостью, параллельной основанию конуса, является кругом. Этот круг является основанием для меньшего конуса, подобного исходному. Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента их подобия.

По условию, секущая плоскость делит высоту конуса в отношении $1:2$, считая от вершины. Это значит, что высота малого конуса $h$ составляет 1 часть, а высота оставшейся усеченной части конуса — 2 части. Таким образом, вся высота $H$ состоит из $1 + 2 = 3$ частей.

Отношение высоты малого конуса к высоте большого конуса (коэффициент подобия $k$) равно:$k = \frac{h}{H} = \frac{1 \text{ часть}}{3 \text{ части}} = \frac{1}{3}$

Отношение площади сечения к площади основания равно квадрату коэффициента подобия:$\frac{S_{сеч}}{S_{осн}} = k^2$

Подставим известные значения в формулу:$\frac{S_{сеч}}{45} = (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$

Отсюда находим площадь сечения:$S_{сеч} = 45 \cdot \frac{1}{9} = 5$ см².

Ответ: 5 см².

149. Радиусы оснований усечённого конуса равны 8 см и 4 см, а угол между образующей и плоскостью большего основания равен $60^{\circ}$. Найдите высоту усечённого конуса.

149. Радиусы оснований усечённого конуса равны 8 см и 4 см, а угол между образующей и плоскостью большего основания равен $60^\circ$. Найдите высоту усечённого конуса.

Рассмотрим осевое сечение усечённого конуса. Такое сечение представляет собой равнобедренную трапецию. Основаниями этой трапеции служат диаметры оснований конуса, боковые стороны — образующие конуса, а высота трапеции — это высота усечённого конуса.

Пусть $R$ — радиус большего основания, а $r$ — радиус меньшего основания. По условию, $R = 8$ см и $r = 4$ см. Высоту конуса обозначим как $h$.

Проведём высоту из вершины меньшего основания трапеции к большему основанию. Мы получим прямоугольный треугольник, в котором:

• Гипотенуза — это образующая усечённого конуса.
• Один катет — это высота усечённого конуса $h$.
• Второй катет равен разности радиусов оснований: $R - r$.

Угол между образующей и плоскостью большего основания является углом в этом прямоугольном треугольнике, прилежащим к катету $R - r$. По условию, этот угол равен $60^\circ$.

Найдём длину катета, равного разности радиусов:

$R - r = 8 - 4 = 4$ см.

В прямоугольном треугольнике тангенс острого угла равен отношению противолежащего катета (в нашем случае $h$) к прилежащему катету ($R - r$).

$\tan(60^\circ) = \frac{h}{R - r}$

Отсюда можем выразить высоту $h$:

$h = (R - r) \cdot \tan(60^\circ)$

Подставим известные значения. Мы знаем, что $\tan(60^\circ) = \sqrt{3}$.

$h = 4 \cdot \sqrt{3}$ см.

Ответ: $4\sqrt{3}$ см.

150. Радиусы оснований усечённого конуса равны 14 см и 22 см, а образующая — 17 см. Найдите площадь осевого сечения усечённого конуса.

150. Радиусы оснований усечённого конуса равны 14 см и 22 см, а образующая — 17 см. Найдите площадь осевого сечения усечённого конуса.

Осевое сечение усечённого конуса представляет собой равнобедренную трапецию. Основаниями этой трапеции являются диаметры оснований конуса, а боковые стороны равны образующей конуса. Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — основания, а $h$ — высота.

По условию задачи, радиусы оснований равны $r=14$ см и $R=22$ см, а образующая $l=17$ см.

Сначала найдём основания трапеции, которые равны диаметрам оснований конуса:

Меньшее основание: $a = 2r = 2 \cdot 14 = 28$ см.

Большее основание: $b = 2R = 2 \cdot 22 = 44$ см.

Далее найдём высоту трапеции $h$. Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой $h$, образующей $l$ (которая является гипотенузой) и отрезком, равным разности радиусов $R-r$ (который является катетом). По теореме Пифагора:

$l^2 = h^2 + (R-r)^2$

Выразим и вычислим высоту $h$:

$h = \sqrt{l^2 - (R-r)^2} = \sqrt{17^2 - (22-14)^2} = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15$ см.

Теперь, зная основания и высоту, можем вычислить площадь осевого сечения (трапеции):

$S = \frac{a+b}{2} \cdot h = \frac{28+44}{2} \cdot 15 = \frac{72}{2} \cdot 15 = 36 \cdot 15 = 540$ см².

Ответ: $540$ см².

151. Радиусы оснований усечённого конуса равны 4 см и 6 см, а образующая — 9 см. Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса.

151. Радиусы оснований усечённого конуса равны 4 см и 6 см, а образующая — 9 см. Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса.

Для нахождения площади боковой поверхности усечённого конуса используется формула:

$S_{бок} = \pi(R + r)l$

где $R$ и $r$ – радиусы оснований усечённого конуса, а $l$ – его образующая.

Из условия задачи нам известны следующие величины:
Радиус одного основания $r = 4$ см.
Радиус другого основания $R = 6$ см.
Образующая $l = 9$ см.

Подставим эти значения в формулу для вычисления площади боковой поверхности:

$S_{бок} = \pi(6 + 4) \cdot 9$

Выполним расчёт:

$S_{бок} = \pi \cdot 10 \cdot 9$

$S_{бок} = 90\pi$

Таким образом, площадь боковой поверхности усечённого конуса равна $90\pi$ см².

Ответ: $90\pi$ см²

152. Образующая усечённого конуса равна 4 см и образует с плоскостью большего основания угол 60°. Найдите радиусы оснований усечённого конуса, если диагональ его осевого сечения равна $2\sqrt{19}$ см.

152. Образующая усечённого конуса равна 4 см и образует с плоскостью большего основания угол 60°. Найдите радиусы оснований усечённого конуса, если диагональ его осевого сечения равна $2\sqrt{19}$ см.

Пусть $R$ и $r$ — радиусы большего и меньшего оснований усеченного конуса соответственно, $l$ — его образующая, $h$ — высота, а $d$ — диагональ осевого сечения.

Из условия задачи нам известно:
образующая $l = 4$ см;
угол между образующей и плоскостью большего основания $\alpha = 60^\circ$;
диагональ осевого сечения $d = 2\sqrt{19}$ см.

Осевым сечением усеченного конуса является равнобокая трапеция. Основания трапеции — это диаметры оснований конуса ($2R$ и $2r$), боковые стороны — образующие ($l$). Угол при большем основании трапеции равен углу $\alpha$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса $h$, образующей $l$ и проекцией образующей на плоскость большего основания. Эта проекция равна разности радиусов $R-r$. В этом треугольнике $l$ — гипотенуза, $h$ и $R-r$ — катеты.

Найдем высоту $h$ и разность радиусов $R-r$:
$h = l \cdot \sin(\alpha) = 4 \cdot \sin(60^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$ см.
$R - r = l \cdot \cos(\alpha) = 4 \cdot \cos(60^\circ) = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$ см. (1)

Теперь воспользуемся информацией о диагонали осевого сечения. Диагональ $d$, высота $h$ и отрезок на большем основании, равный $R+r$, образуют другой прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора:
$d^2 = h^2 + (R+r)^2$.

Подставим известные значения и найдем сумму радиусов $R+r$:
$(2\sqrt{19})^2 = (2\sqrt{3})^2 + (R+r)^2$
$4 \cdot 19 = 4 \cdot 3 + (R+r)^2$
$76 = 12 + (R+r)^2$
$(R+r)^2 = 76 - 12 = 64$
$R+r = \sqrt{64} = 8$ см. (2)

Мы получили систему из двух линейных уравнений для нахождения $R$ и $r$:
$\begin{cases} R - r = 2 \\ R + r = 8 \end{cases}$

Сложив два уравнения, получим:
$(R - r) + (R + r) = 2 + 8$
$2R = 10$
$R = 5$ см.

Подставим значение $R$ во второе уравнение:
$5 + r = 8$
$r = 3$ см.

Ответ: радиусы оснований усеченного конуса равны 5 см и 3 см.

153. Радиусы оснований усечённого конуса равны 10 см и 8 см, а его образующая перпендикулярна диагонали осевого сечения, проходящего через эту образующую.

Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса.

153. Радиусы оснований усечённого конуса равны 10 см и 8 см, а его образующая перпендикулярна диагонали осевого сечения, проходящего через эту образующую.

Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса.

Площадь боковой поверхности усечённого конуса вычисляется по формуле: $S_{бок} = \pi (R + r) l$, где $R$ и $r$ — радиусы большего и меньшего оснований соответственно, а $l$ — длина образующей.

Из условия задачи известны радиусы оснований: $R = 10$ см и $r = 8$ см. Для нахождения площади боковой поверхности необходимо определить длину образующей $l$.

Рассмотрим осевое сечение усечённого конуса. Оно представляет собой равнобедренную трапецию, назовем её $ABCD$. Основаниями трапеции являются диаметры оснований конуса: $AD = 2R = 2 \cdot 10 = 20$ см; $BC = 2r = 2 \cdot 8 = 16$ см. Боковая сторона трапеции $AB$ равна образующей конуса, то есть $AB = l$.

По условию, образующая перпендикулярна диагонали осевого сечения, проходящего через эту образующую. Возьмем образующую $AB$ и диагональ $BD$. Таким образом, $AB \perp BD$, и треугольник $ABD$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B$ ($ \angle ABD = 90^\circ $).

Проведём из вершины $B$ высоту $BH$ на основание $AD$. В равнобедренной трапеции длина отрезка $AH$, который является проекцией боковой стороны $AB$ на большее основание, вычисляется по формуле: $AH = \frac{AD - BC}{2} = \frac{20 - 16}{2} = \frac{4}{2} = 2$ см.

В прямоугольном треугольнике $ABD$ отрезок $BH$ является высотой, проведённой к гипотенузе $AD$. Согласно метрическим соотношениям в прямоугольном треугольнике, квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу. Для катета $AB$ и его проекции $AH$ это соотношение выглядит так: $AB^2 = AD \cdot AH$.

Подставим известные значения, чтобы найти $l = AB$: $l^2 = 20 \cdot 2 = 40$. Отсюда находим длину образующей: $l = \sqrt{40} = \sqrt{4 \cdot 10} = 2\sqrt{10}$ см.

Теперь, зная все необходимые величины, можем вычислить площадь боковой поверхности усечённого конуса: $S_{бок} = \pi (R + r) l = \pi (10 + 8) \cdot 2\sqrt{10} = 18\pi \cdot 2\sqrt{10} = 36\pi\sqrt{10}$ см$^2$.

Ответ: $36\pi\sqrt{10} \text{ см}^2$.