Номер 145, страница 55 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

145. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 2 см, а угол при вершине — $150^\circ$. Треугольник вращается вокруг прямой, содержащей его боковую сторону. Найдите площадь поверхности тела вращения.

145. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 2 см, а угол при вершине — $150^\circ$. Треугольник вращается вокруг прямой, содержащей его боковую сторону. Найдите площадь поверхности тела вращения.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$, в котором боковые стороны $AB = AC = 2$ см, а угол при вершине $\angle BAC = 150^\circ$. Треугольник вращается вокруг прямой, содержащей сторону $AC$.

Тело вращения, полученное в результате этого вращения, состоит из двух конусов, имеющих общее основание. Поверхность этого тела представляет собой объединение боковых поверхностей этих двух конусов. Первый конус образуется вращением стороны $AB$ вокруг оси $AC$, а второй — вращением стороны $BC$ вокруг той же оси.

Площадь поверхности тела вращения $S$ равна сумме площадей боковых поверхностей двух конусов: $S = S_1 + S_2$. Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi R l$, где $R$ — радиус основания, а $l$ — длина образующей.

Для обоих конусов радиус основания $R$ будет одинаковым и равным длине высоты треугольника $ABC$, опущенной из вершины $B$ на прямую $AC$. Обозначим эту высоту как $BH$. Образующими конусов являются стороны треугольника $AB$ и $BC$.

1. Нахождение радиуса основания конусов
Радиус $R$ равен высоте $BH$. Найдем ее, вычислив площадь треугольника $ABC$ двумя способами.
С одной стороны, по формуле площади треугольника через две стороны и угол между ними:
$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot AC \cdot \sin(\angle BAC)$
$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 \cdot \sin(150^\circ) = 2 \cdot \sin(180^\circ - 30^\circ) = 2 \cdot \sin(30^\circ) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$ см$^2$.
С другой стороны, площадь этого же треугольника равна половине произведения основания $AC$ на высоту $BH$:
$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} AC \cdot BH$
Подставляем известные значения: $1 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot BH$, откуда получаем $BH = 1$ см.
Таким образом, радиус основания конусов $R = 1$ см.

2. Нахождение длин образующих конусов
Образующая первого конуса $l_1$ равна стороне $AB$, то есть $l_1 = 2$ см.
Образующая второго конуса $l_2$ равна стороне $BC$. Найдем длину $BC$ по теореме косинусов для треугольника $ABC$:
$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\angle BAC)$
$BC^2 = 2^2 + 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \cos(150^\circ)$
Так как $\cos(150^\circ) = -\cos(30^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, то:
$BC^2 = 4 + 4 - 8 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = 8 + 4\sqrt{3}$.
Следовательно, $l_2 = BC = \sqrt{8 + 4\sqrt{3}} = \sqrt{8 + 2\sqrt{12}}$.
Используя формулу сложного радикала $\sqrt{A \pm \sqrt{B}} = \sqrt{\frac{A+C}{2}} \pm \sqrt{\frac{A-C}{2}}$, где $C=\sqrt{A^2-B}$, или подбором, получаем:$l_2 = \sqrt{(\sqrt{6} + \sqrt{2})^2} = \sqrt{6} + \sqrt{2}$ см.

3. Вычисление площади поверхности тела вращения
Полная площадь поверхности $S$ равна сумме площадей боковых поверхностей двух конусов:
$S = S_1 + S_2 = \pi R l_1 + \pi R l_2 = \pi R (l_1 + l_2)$
Подставим найденные значения $R=1$, $l_1=2$ и $l_2=\sqrt{6} + \sqrt{2}$:
$S = \pi \cdot 1 \cdot (2 + (\sqrt{6} + \sqrt{2})) = (2 + \sqrt{6} + \sqrt{2})\pi$ см$^2$.

Ответ: $(2 + \sqrt{6} + \sqrt{2})\pi$ см$^2$.