Номер 138, страница 54 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

138. В основании конуса проведена хорда CD на расстоянии $2\sqrt{13}$ см от центра O основания, отрезок SO — высота конуса. Найдите высоту конуса, если точка O удалена от плоскости CDS на 6 см.

138. В основании конуса проведена хорда CD на расстоянии $2\sqrt{13}$ см от центра O основания, отрезок SO — высота конуса. Найдите высоту конуса, если точка O удалена от плоскости CDS на 6 см.

Пусть $SO = H$ — высота конуса, а $O$ — центр его основания. В основании проведена хорда $CD$. Расстояние от центра основания $O$ до хорды $CD$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $O$ на хорду $CD$. Обозначим середину хорды $CD$ как точку $M$. Тогда $OM \perp CD$ и, по условию задачи, $OM = 2\sqrt{13}$ см.

Поскольку $SO$ является высотой конуса, отрезок $SO$ перпендикулярен плоскости основания, а значит, и любой прямой, лежащей в этой плоскости. Следовательно, $SO \perp OM$. Таким образом, треугольник $\triangle SOM$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $O$.

Рассмотрим плоскость сечения $CDS$. Прямая $CD$ лежит в этой плоскости. Так как $OM \perp CD$ (по построению) и $SO \perp CD$ (так как $SO$ перпендикулярна всей плоскости основания), то прямая $CD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($SO$ и $OM$) в плоскости $SOM$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $CD$ перпендикулярна плоскости $SOM$.

Поскольку плоскость $CDS$ проходит через прямую $CD$, которая перпендикулярна плоскости $SOM$, то по признаку перпендикулярности плоскостей, плоскость $CDS$ перпендикулярна плоскости $SOM$.

Расстояние от точки $O$ до плоскости $CDS$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $O$ на плоскость $CDS$. Обозначим его $OK$, где $K$ — основание перпендикуляра. По условию $OK = 6$ см. Так как плоскости $CDS$ и $SOM$ взаимно перпендикулярны, то перпендикуляр $OK$, проведенный из точки $O$ (лежащей в плоскости $SOM$) к плоскости $CDS$, должен лежать в плоскости $SOM$ и быть перпендикулярным линии их пересечения — прямой $SM$.

Следовательно, $OK$ является высотой прямоугольного треугольника $\triangle SOM$, проведенной из вершины прямого угла $O$ к гипотенузе $SM$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle SOM$ с катетами $SO = H$ и $OM = 2\sqrt{13}$ и высотой к гипотенузе $OK = 6$ см, справедливо следующее метрическое соотношение:

$\frac{1}{OK^2} = \frac{1}{SO^2} + \frac{1}{OM^2}$

Подставим известные значения в формулу:

$\frac{1}{6^2} = \frac{1}{H^2} + \frac{1}{(2\sqrt{13})^2}$

$\frac{1}{36} = \frac{1}{H^2} + \frac{1}{4 \cdot 13}$

$\frac{1}{36} = \frac{1}{H^2} + \frac{1}{52}$

Выразим из этого уравнения $\frac{1}{H^2}$:

$\frac{1}{H^2} = \frac{1}{36} - \frac{1}{52}$

Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для 36 и 52 равно 468 ($36 = 4 \cdot 9$, $52 = 4 \cdot 13$, $LCM(36, 52) = 4 \cdot 9 \cdot 13 = 468$).

$\frac{1}{H^2} = \frac{13}{468} - \frac{9}{468} = \frac{13-9}{468} = \frac{4}{468}$

Сократим полученную дробь:

$\frac{1}{H^2} = \frac{1}{117}$

Отсюда следует, что $H^2 = 117$.

Теперь найдем высоту $H$:

$H = \sqrt{117} = \sqrt{9 \cdot 13} = 3\sqrt{13}$ см.

Ответ: $3\sqrt{13}$ см.