Номер 137, страница 54 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

137. Через две образующие конуса проведена плоскость, пересекающая основание по хорде, стягивающей дугу, градусная мера которой равна $90^\circ$. Угол между проведённой плоскостью и плоскостью основания равен $30^\circ$. Высота конуса равна 12 см. Найдите:

1) площадь образовавшегося сечения;

2) площадь боковой поверхности конуса.

137. Через две образующие конуса проведена плоскость, пересекающая основание по хорде, стягивающей дугу, градусная мера которой равна $90^\circ$. Угол между проведённой плоскостью и плоскостью основания равен $30^\circ$. Высота конуса равна $12 \text{ см}$. Найдите:

1) площадь образовавшегося сечения;

2) площадь боковой поверхности конуса.

Пусть $S$ – вершина конуса, $O$ – центр основания, $SO$ – высота конуса, $H = SO = 12$ см. Плоскость сечения проходит через две образующие $SA$ и $SB$ и пересекает основание по хорде $AB$. Образовавшееся сечение – это треугольник $SAB$.

Хорда $AB$ стягивает дугу в $90^\circ$, следовательно, центральный угол $\angle AOB = 90^\circ$. Треугольник $AOB$ – прямоугольный и равнобедренный ($OA = OB = R$, где $R$ – радиус основания конуса).

Угол между плоскостью сечения $(SAB)$ и плоскостью основания – это двугранный угол. Проведем апофему сечения $SK$, где $K$ – середина хорды $AB$. Так как $\triangle SAB$ равнобедренный ($SA=SB$), то $SK$ является его высотой, т.е. $SK \perp AB$. В основании проведем $OK$. Так как $\triangle AOB$ равнобедренный, то медиана $OK$ является и высотой, т.е. $OK \perp AB$. Таким образом, угол $\angle SKO$ является линейным углом двугранного угла, и по условию $\angle SKO = 30^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOK$ ( $\angle SOK = 90^\circ$ ). Мы знаем $SO = 12$ см и $\angle SKO = 30^\circ$.

Площадь сечения (треугольника $SAB$) вычисляется по формуле $S_{SAB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot SK$. Найдем $SK$ и $AB$.

Из прямоугольного треугольника $SOK$ найдем гипотенузу $SK$ (высоту сечения):
$\sin(\angle SKO) = \frac{SO}{SK} \implies \sin(30^\circ) = \frac{12}{SK}$
$\frac{1}{2} = \frac{12}{SK} \implies SK = 12 \cdot 2 = 24$ см.

Теперь найдем катет $OK$ из того же треугольника $SOK$:
$\tan(\angle SKO) = \frac{SO}{OK} \implies \tan(30^\circ) = \frac{12}{OK}$
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{12}{OK} \implies OK = 12\sqrt{3}$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AOK$ в основании конуса ($\angle OKA = 90^\circ$). Так как $\triangle AOB$ равнобедренный и прямоугольный, то $\angle OAB = \angle OBA = 45^\circ$. Тогда из $\triangle AOK$ найдем $AK$:
$\tan(\angle OAK) = \frac{OK}{AK} \implies \tan(45^\circ) = \frac{12\sqrt{3}}{AK}$
$1 = \frac{12\sqrt{3}}{AK} \implies AK = 12\sqrt{3}$ см.

Хорда $AB = 2 \cdot AK = 2 \cdot 12\sqrt{3} = 24\sqrt{3}$ см.

Теперь можем вычислить площадь сечения:
$S_{SAB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot SK = \frac{1}{2} \cdot 24\sqrt{3} \cdot 24 = 12 \cdot 24\sqrt{3} = 288\sqrt{3}$ см$^2$.

Ответ: $288\sqrt{3}$ см$^2$.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi R l$, где $R$ – радиус основания, а $l$ – длина образующей.

Найдем радиус основания $R=OA$. Из прямоугольного треугольника $AOK$ по теореме Пифагора:
$R^2 = OA^2 = OK^2 + AK^2 = (12\sqrt{3})^2 + (12\sqrt{3})^2 = 2 \cdot (12\sqrt{3})^2$
$R = \sqrt{2} \cdot 12\sqrt{3} = 12\sqrt{6}$ см.

Найдем длину образующей $l=SA$. Из прямоугольного треугольника $SOA$ по теореме Пифагора:
$l^2 = SA^2 = SO^2 + OA^2 = H^2 + R^2$
$l^2 = 12^2 + (12\sqrt{6})^2 = 144 + 144 \cdot 6 = 144 \cdot (1+6) = 144 \cdot 7$
$l = \sqrt{144 \cdot 7} = 12\sqrt{7}$ см.

Теперь вычислим площадь боковой поверхности конуса:
$S_{бок} = \pi R l = \pi \cdot (12\sqrt{6}) \cdot (12\sqrt{7}) = 144\pi\sqrt{42}$ см$^2$.

Ответ: $144\pi\sqrt{42}$ см$^2$.