Номер 135, страница 53 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

135. В основании конуса проведена хорда, которая видна из центра основания под углом $\alpha$, а из вершины конуса — под углом $\beta$. Найдите образующую конуса, если радиус его основания равен $R$.

135. В основании конуса проведена хорда, которая видна из центра основания под углом $\alpha$, а из вершины конуса — под углом $\beta$. Найдите образующую конуса, если радиус его основания равен $R$.

Пусть вершина конуса — точка $S$, центр его основания — точка $O$, а концы хорды — точки $A$ и $B$. По условию задачи, радиус основания $OA = OB = R$, а образующая конуса $SA = SB = L$. Хорда видна из центра основания под углом $\alpha$, то есть $\angle AOB = \alpha$, а из вершины конуса — под углом $\beta$, то есть $\angle ASB = \beta$.

Сначала рассмотрим равнобедренный треугольник $AOB$, который лежит в основании конуса. Проведем в нем высоту $OM$ к основанию $AB$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой. Следовательно, точка $M$ является серединой хорды $AB$, а угол $\angle AOM = \frac{\alpha}{2}$. Из прямоугольного треугольника $AOM$ найдем половину длины хорды $AM$:$AM = OA \cdot \sin(\angle AOM) = R \sin(\frac{\alpha}{2})$Тогда вся длина хорды $AB$ равна:$AB = 2 \cdot AM = 2R \sin(\frac{\alpha}{2})$

Теперь рассмотрим равнобедренный треугольник $ASB$, образованный хордой и двумя образующими конуса. Проведем в нем высоту $SM$ к основанию $AB$. Эта высота также является медианой и биссектрисой, поэтому $\angle ASM = \frac{\beta}{2}$. Из прямоугольного треугольника $ASM$ выразим ту же самую половину длины хорды $AM$:$AM = SA \cdot \sin(\angle ASM) = L \sin(\frac{\beta}{2})$Соответственно, вся длина хорды $AB$ равна:$AB = 2 \cdot AM = 2L \sin(\frac{\beta}{2})$

Мы получили два выражения для длины одной и той же хорды $AB$. Приравняем их:$2R \sin(\frac{\alpha}{2}) = 2L \sin(\frac{\beta}{2})$Разделив обе части равенства на 2, получим:$R \sin(\frac{\alpha}{2}) = L \sin(\frac{\beta}{2})$Из этого соотношения выразим искомую образующую $L$:$L = \frac{R\sin(\frac{\alpha}{2})}{\sin(\frac{\beta}{2})}$

Ответ: $L = \frac{R\sin(\frac{\alpha}{2})}{\sin(\frac{\beta}{2})}$