Номер 141, страница 54 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

141. Развёртка боковой поверхности конуса — сектор, центральный угол которого равен $240^\circ$. Найдите площадь полной поверхности конуса, если площадь его боковой поверхности равна $96\pi$ см$^{\text{2}}$.

141. Развёртка боковой поверхности конуса — сектор, центральный угол которого равен $240^\circ$. Найдите площадь полной поверхности конуса, если площадь его боковой поверхности равна $96\pi \text{ см}^2$.

Площадь полной поверхности конуса ($S_{полн}$) вычисляется как сумма площади боковой поверхности ($S_{бок}$) и площади основания ($S_{осн}$).

$S_{полн} = S_{бок} + S_{осн}$

По условию задачи, площадь боковой поверхности конуса известна: $S_{бок} = 96π \text{ см}^2$.

Развёрткой боковой поверхности конуса является сектор круга. Радиус этого сектора равен образующей конуса $L$, а его площадь равна площади боковой поверхности конуса. Центральный угол сектора $α = 240°$.

Формула площади сектора через его радиус $L$ и центральный угол $α$ (в градусах) выглядит так:

$S_{сектора} = \frac{πL^2α}{360}$

Подставим известные значения ($S_{сектора} = S_{бок} = 96π$ и $α = 240°$) и найдём образующую $L$:

$96π = \frac{πL^2 \cdot 240}{360}$

Сократим дробь $\frac{240}{360}$ на 120, получим $\frac{2}{3}$:

$96π = \frac{2}{3}πL^2$

Разделим обе части уравнения на $π$ и выразим $L^2$:

$L^2 = 96 \cdot \frac{3}{2} = 48 \cdot 3 = 144$

$L = \sqrt{144} = 12$ см.

Теперь, зная образующую $L$ и площадь боковой поверхности $S_{бок}$, мы можем найти радиус основания конуса $r$ из формулы $S_{бок} = πrL$:

$96π = π \cdot r \cdot 12$

Разделим обе части на $12π$:

$r = \frac{96π}{12π} = 8$ см.

Далее вычислим площадь основания конуса, которое представляет собой круг радиусом $r$:

$S_{осн} = πr^2 = π \cdot 8^2 = 64π \text{ см}^2$.

Наконец, найдём площадь полной поверхности конуса, сложив площади боковой поверхности и основания:

$S_{полн} = S_{бок} + S_{осн} = 96π + 64π = 160π \text{ см}^2$.

Ответ: $160π \text{ см}^2$.