Номер 139, страница 54 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

139. Через две образующие конуса проведено сечение, площадь которого равна $S$. Угол между одной их этих образующих и хордой, по которой проведённое сечение пересекает основание, равен $\alpha$, а угол между плоскостью сечения и плоскостью основания равен $\gamma$. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

139. Через две образующие конуса проведено сечение, площадь которого равна $S$. Угол между одной их этих образующих и хордой, по которой проведённое сечение пересекает основание, равен $\alpha$, а угол между плоскостью сечения и плоскостью основания равен $\gamma$. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Обозначим вершину конуса как P, центр его основания как O, образующую как $l$, а радиус основания как $R$. Сечение, проходящее через две образующие PA и PB, представляет собой равнобедренный треугольник PAB, где $PA = PB = l$. Площадь этого треугольника по условию равна $S$.

Угол между образующей (например, PA) и хордой AB, по которой сечение пересекает основание, равен $\alpha$. Таким образом, в треугольнике PAB угол $\angle PAB = \alpha$. Поскольку $\triangle PAB$ является равнобедренным, то и второй угол при основании $\angle PBA = \alpha$. Угол при вершине P будет равен $\angle APB = 180^\circ - 2\alpha = \pi - 2\alpha$.

Площадь треугольника PAB можно выразить через длины двух его сторон и синус угла между ними: $S = \frac{1}{2} \cdot PA \cdot PB \cdot \sin(\angle APB) = \frac{1}{2} l \cdot l \cdot \sin(\pi - 2\alpha) = \frac{1}{2} l^2 \sin(2\alpha)$. Из этого выражения найдем квадрат длины образующей: $l^2 = \frac{2S}{\sin(2\alpha)}$.

Площадь боковой поверхности конуса определяется формулой $S_{бок} = \pi R l$. Чтобы найти ее, нам необходимо определить радиус основания $R$.

Угол $\gamma$ между плоскостью сечения (PAB) и плоскостью основания является двугранным углом при ребре AB. Для его измерения построим соответствующий линейный угол. Проведем медиану PM в треугольнике PAB. Так как $\triangle PAB$ равнобедренный, PM также является его высотой, т.е. $PM \perp AB$. В плоскости основания соединим центр O с серединой хорды AB, точкой M. В равнобедренном треугольнике OAB (OA = OB = R) медиана OM также является высотой, т.е. $OM \perp AB$. Таким образом, угол между отрезками PM и OM, перпендикулярными к линии пересечения плоскостей AB, является линейным углом двугранного угла, и $\angle PMO = \gamma$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник POM (угол $\angle POM = 90^\circ$, так как PO - высота конуса). Также рассмотрим прямоугольный треугольник OMA в плоскости основания (угол $\angle OMA = 90^\circ$). По теореме Пифагора для $\triangle OMA$: $R^2 = OA^2 = OM^2 + AM^2$.

Найдем длины катетов AM и OM. Из прямоугольного треугольника PMA (угол $\angle PMA = 90^\circ$): $AM = PA \cdot \cos(\angle PAM) = l \cos\alpha$. $PM = PA \cdot \sin(\angle PAM) = l \sin\alpha$.

Теперь из прямоугольного треугольника PMO (угол $\angle POM = 90^\circ$): $OM = PM \cdot \cos(\angle PMO) = (l \sin\alpha) \cos\gamma$.

Подставим найденные выражения для AM и OM в формулу для квадрата радиуса: $R^2 = (l \sin\alpha \cos\gamma)^2 + (l \cos\alpha)^2 = l^2\sin^2\alpha\cos^2\gamma + l^2\cos^2\alpha = l^2(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha\cos^2\gamma)$. Упростим выражение в скобках, используя тождество $\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha$: $\cos^2\alpha + \sin^2\alpha\cos^2\gamma = (1 - \sin^2\alpha) + \sin^2\alpha\cos^2\gamma = 1 - \sin^2\alpha(1 - \cos^2\gamma) = 1 - \sin^2\alpha\sin^2\gamma$. Следовательно, $R^2 = l^2(1 - \sin^2\alpha\sin^2\gamma)$.

Теперь мы готовы вычислить площадь боковой поверхности конуса. Удобнее сначала найти ее квадрат: $S_{бок}^2 = (\pi R l)^2 = \pi^2 R^2 l^2$. Подставим найденное выражение для $R^2$: $S_{бок}^2 = \pi^2 [l^2(1 - \sin^2\alpha\sin^2\gamma)] l^2 = \pi^2 l^4 (1 - \sin^2\alpha\sin^2\gamma)$. Извлекая квадратный корень, получаем: $S_{бок} = \pi l^2 \sqrt{1 - \sin^2\alpha\sin^2\gamma}$.

Наконец, подставим выражение для $l^2 = \frac{2S}{\sin(2\alpha)}$ в полученную формулу: $S_{бок} = \pi \frac{2S}{\sin(2\alpha)} \sqrt{1 - \sin^2\alpha \sin^2\gamma}$.

Ответ: $S_{бок} = \frac{2\pi S}{\sin(2\alpha)} \sqrt{1 - \sin^2\alpha \sin^2\gamma}$.