Номер 142, страница 54 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

142. Прямоугольный треугольник с катетом $a$ и прилежащим к нему острым углом $\alpha$ вращается вокруг прямой, содержащей другой катет. Найдите площадь боковой поверхности образовавшегося конуса.

142. Прямоугольный треугольник с катетом $a$ и прилежащим к нему острым углом $\alpha$ вращается вокруг прямой, содержащей другой катет. Найдите площадь боковой поверхности образовавшегося конуса.

Пусть дан прямоугольный треугольник, у которого один катет равен $a$, а прилежащий к нему острый угол равен $\alpha$. Обозначим этот катет как $AC = a$, а прилежащий угол как $\angle CAB = \alpha$. Второй катет обозначим как $BC$, а гипотенузу — $AB$. Прямой угол находится при вершине $C$.

Треугольник вращается вокруг прямой, содержащей другой катет, то есть вокруг катета $BC$. При таком вращении образуется конус. Катет $AC$, перпендикулярный оси вращения, образует основание конуса. Следовательно, радиус основания конуса $r$ равен длине катета $AC$.

$r = a$

Гипотенуза $AB$ при вращении образует боковую поверхность конуса и является его образующей. Обозначим длину образующей как $l$.

$l = AB$

Рассмотрим исходный прямоугольный треугольник. В нем катет $AC$ является прилежащим к углу $\alpha$, а $AB$ — гипотенузой. Связь между ними выражается через косинус угла $\alpha$:

$\cos(\alpha) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AC}{AB} = \frac{a}{l}$

Из этого соотношения выразим длину образующей $l$:

$l = \frac{a}{\cos(\alpha)}$

Площадь боковой поверхности конуса ($S_{бок}$) вычисляется по формуле:

$S_{бок} = \pi r l$

Подставим в эту формулу найденные значения радиуса $r$ и образующей $l$:

$S_{бок} = \pi \cdot a \cdot \frac{a}{\cos(\alpha)} = \frac{\pi a^2}{\cos(\alpha)}$

Ответ: $\frac{\pi a^2}{\cos(\alpha)}$