Номер 146, страница 55 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

146. Основания равнобокой трапеции равны 10 см и 42 см, а боковая сторона — 20 см. Трапеция вращается вокруг прямой, содержащей большее основание. Найдите площадь поверхности тела вращения.

146. Основания равнобокой трапеции равны 10 см и 42 см, а боковая сторона — 20 см. Трапеция вращается вокруг прямой, содержащей большее основание. Найдите площадь поверхности тела вращения.

Тело, полученное при вращении равнобокой трапеции вокруг ее большего основания, представляет собой комбинацию одного цилиндра и двух одинаковых конусов, присоединенных к основаниям цилиндра. Площадь поверхности этого тела равна сумме площадей боковых поверхностей цилиндра и двух конусов.

Для вычисления площадей нам необходимо найти высоту трапеции. Высота трапеции будет являться радиусом оснований как для цилиндра, так и для конусов.

Опустим высоты из вершин меньшего основания на большее. Они образуют прямоугольник и два равных прямоугольных треугольника. Катет каждого треугольника, лежащий на большем основании, равен полуразности оснований:
$x = \frac{42 - 10}{2} = \frac{32}{2} = 16$ см.

Теперь рассмотрим один из прямоугольных треугольников. Его гипотенуза — это боковая сторона трапеции ($20$ см), один катет — это найденный отрезок ($16$ см), а второй катет — это высота трапеции ($h$). По теореме Пифагора найдем высоту:
$h = \sqrt{20^2 - 16^2} = \sqrt{400 - 256} = \sqrt{144} = 12$ см.

Таким образом, радиус оснований цилиндра и конусов $r = h = 12$ см.

Теперь рассчитаем площади поверхностей.
Площадь боковой поверхности цилиндра ($S_{цил}$) вычисляется по формуле $S_{цил} = 2 \pi r h_{цил}$. Высота цилиндра $h_{цил}$ равна длине меньшего основания трапеции, то есть $10$ см.
$S_{цил} = 2 \pi \cdot 12 \cdot 10 = 240\pi$ см².

Площадь боковой поверхности конуса ($S_{кон}$) вычисляется по формуле $S_{кон} = \pi r l$. Образующая конуса $l$ равна боковой стороне трапеции, то есть $20$ см.
$S_{кон} = \pi \cdot 12 \cdot 20 = 240\pi$ см².

Полная площадь поверхности тела вращения ($S$) равна сумме площади боковой поверхности цилиндра и площадей боковых поверхностей двух конусов:
$S = S_{цил} + 2 \cdot S_{кон} = 240\pi + 2 \cdot 240\pi = 240\pi + 480\pi = 720\pi$ см².

Ответ: $720\pi$ см².