Номер 132, страница 53 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

132. Осевое сечение конуса — треугольник со стороной 8 см и противолежащим к ней углом $120^\circ$. Найдите площадь полной поверхности конуса.

132. Осевое сечение конуса — треугольник со стороной $8$ см и противолежащим к ней углом $120^\circ$. Найдите площадь полной поверхности конуса.

Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник. Так как сумма углов в треугольнике равна 180°, угол в 120° может быть только углом при вершине этого треугольника. Если бы это был угол при основании, то сумма двух углов при основании была бы $120° + 120° = 240°$, что невозможно.

Следовательно, сторона длиной 8 см является основанием равнобедренного треугольника, так как она лежит напротив угла в 120°. Основание осевого сечения конуса равно диаметру его основания $D$.

Таким образом, диаметр основания конуса $D = 8$ см, а радиус $R = \frac{D}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.

Боковые стороны равнобедренного треугольника являются образующими конуса $L$. Углы при основании этого треугольника равны: $\frac{180° - 120°}{2} = \frac{60°}{2} = 30°$.

Чтобы найти длину образующей $L$, рассмотрим прямоугольный треугольник, который является половиной осевого сечения и образован высотой конуса $H$, радиусом $R$ и образующей $L$. В этом треугольнике $R$ является катетом, $L$ — гипотенузой, а угол между ними (угол при основании осевого сечения) равен 30°.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике:$ \cos(30°) = \frac{R}{L} $

Выразим отсюда образующую $L$:$ L = \frac{R}{\cos(30°)} = \frac{4}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{8}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{3}}{3} $ см.

Площадь полной поверхности конуса вычисляется по формуле, которая включает в себя площадь основания ($S_{осн} = \pi R^2$) и площадь боковой поверхности ($S_{бок} = \pi R L$):$ S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = \pi R^2 + \pi R L = \pi R (R + L) $

Подставим найденные значения $R = 4$ и $L = \frac{8\sqrt{3}}{3}$:$ S_{полн} = \pi \cdot 4 \cdot (4 + \frac{8\sqrt{3}}{3}) = 4\pi \left(\frac{12}{3} + \frac{8\sqrt{3}}{3}\right) = 4\pi \left(\frac{12 + 8\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{16\pi(3 + 2\sqrt{3})}{3} $ см$^2$.

Ответ: $ \frac{16\pi(3 + 2\sqrt{3})}{3} $ см$^2$.