Номер 128, страница 53 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Комбинации цилиндра и призмы. Вариант 2. Упражнения - номер 128, страница 53.

Условие 2020.

128. В правильную треугольную призму вписан цилиндр, радиус основания которого равен $R$, а диагональ осевого сечения образует с плоскостью основания угол $\alpha$. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Условие 2023.

128. В правильную треугольную призму вписан цилиндр, радиус основания которого равен $R$, а диагональ осевого сечения образует с плоскостью основания угол $\alpha$. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Решение.

Решение 2 (2023).

Площадь боковой поверхности правильной призмы ($S_{бок}$) вычисляется по формуле $S_{бок} = P_{осн} \cdot H$, где $P_{осн}$ – периметр основания, а $H$ – высота призмы.

Найдем периметр основания призмы.
В основании правильной треугольной призмы лежит равносторонний треугольник. Поскольку цилиндр вписан в призму, его основание — круг радиуса $R$ — вписано в этот треугольник. Радиус $R$ вписанной в равносторонний треугольник окружности связан с его стороной $a$ формулой: $R = \frac{a}{2\sqrt{3}}$. Выразим сторону $a$ из этой формулы: $a = 2\sqrt{3}R$. Периметр основания $P_{осн}$ равен: $P_{осн} = 3a = 3 \cdot 2\sqrt{3}R = 6\sqrt{3}R$.

Найдем высоту призмы.
Высота призмы $H$ равна высоте вписанного цилиндра. Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник, его стороны — это диаметр основания цилиндра $D$ и его высота $H$. Диаметр основания $D = 2R$. Согласно условию, диагональ этого прямоугольника (осевого сечения) образует с плоскостью основания угол $\alpha$. Это означает, что угол между диагональю и стороной $D$ равен $\alpha$. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой $H$, диаметром $D$ и диагональю, выполняется соотношение: $\tan(\alpha) = \frac{H}{D}$. Отсюда находим высоту $H$: $H = D \tan(\alpha) = 2R \tan(\alpha)$.

Вычислим площадь боковой поверхности призмы.
Подставим найденные значения периметра $P_{осн}$ и высоты $H$ в исходную формулу: $S_{бок} = P_{осн} \cdot H = (6\sqrt{3}R) \cdot (2R \tan(\alpha)) = 12\sqrt{3}R^2 \tan(\alpha)$.
Ответ: $12\sqrt{3}R^2 \tan(\alpha)$.