Номер 125, страница 52 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

125. Основанием призмы является ромб, меньшая диагональ которого равна $d$, а острый угол равен $\alpha$. Большая диагональ призмы образует с плоскостью основания угол $\beta$. Найдите площадь осевого сечения цилиндра, вписанного в эту призму.

125. Основанием призмы является ромб, меньшая диагональ которого равна $d$, а острый угол равен $\alpha$. Большая диагональ призмы образует с плоскостью основания угол $\beta$. Найдите площадь осевого сечения цилиндра, вписанного в эту призму.

Площадь осевого сечения вписанного цилиндра, $S_{сеч}$, является произведением его диаметра $D_{цил}$ на высоту $H_{цил}$.$S_{сеч} = D_{цил} \cdot H_{цил}$.

Так как цилиндр вписан в призму (подразумевается, что призма прямая), его высота равна высоте призмы, $H_{цил} = H_{призмы}$. Основание цилиндра — это окружность, вписанная в основание призмы, то есть в ромб. Диаметр окружности, вписанной в ромб, равен высоте этого ромба, $h_{ромба}$. Таким образом, $D_{цил} = h_{ромба}$.Задача сводится к нахождению высоты ромба и высоты призмы.

Сначала найдем параметры основания (ромба). Пусть сторона ромба равна $a$, а острый угол — $\alpha$. Меньшая диагональ $d$ лежит напротив острого угла. Из треугольника, образованного двумя сторонами ромба $a$ и диагональю $d$, по теореме косинусов:$d^2 = a^2 + a^2 - 2a^2\cos\alpha = 2a^2(1 - \cos\alpha)$.Используя формулу половинного угла $1 - \cos\alpha = 2\sin^2(\alpha/2)$, получаем $d^2 = 4a^2\sin^2(\alpha/2)$, откуда сторона ромба $a = \frac{d}{2\sin(\alpha/2)}$.Высота ромба $h_{ромба}$ вычисляется по формуле $h_{ромба} = a \sin\alpha$. Подставив найденное значение $a$ и применив формулу синуса двойного угла $\sin\alpha = 2\sin(\alpha/2)\cos(\alpha/2)$, получим:$h_{ромба} = \frac{d}{2\sin(\alpha/2)} \cdot (2\sin(\alpha/2)\cos(\alpha/2)) = d\cos(\alpha/2)$.Следовательно, диаметр цилиндра $D_{цил} = d\cos(\alpha/2)$.

Теперь найдем высоту призмы $H_{призмы}$. Большая диагональ призмы образует с плоскостью основания угол $\beta$. Проекцией этой диагонали на основание является большая диагональ ромба, обозначим ее $D_{ромба}$. Высота призмы $H_{призмы}$, большая диагональ ромба $D_{ромба}$ и большая диагональ призмы образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике выполняется соотношение: $\tan\beta = \frac{H_{призмы}}{D_{ромба}}$, откуда $H_{призмы} = D_{ромба} \cdot \tan\beta$.Найдем большую диагональ ромба. Сумма квадратов диагоналей ромба равна квадрату стороны, умноженному на 4: $d^2 + D_{ромба}^2 = 4a^2$.$D_{ромба}^2 = 4a^2 - d^2 = 4\left(\frac{d}{2\sin(\alpha/2)}\right)^2 - d^2 = \frac{d^2}{\sin^2(\alpha/2)} - d^2 = d^2\left(\frac{1 - \sin^2(\alpha/2)}{\sin^2(\alpha/2)}\right) = d^2\frac{\cos^2(\alpha/2)}{\sin^2(\alpha/2)} = d^2\cot^2(\alpha/2)$.Отсюда $D_{ромба} = d\cot(\alpha/2)$.Теперь находим высоту призмы: $H_{призмы} = D_{ромба} \tan\beta = d\cot(\alpha/2)\tan\beta$.Следовательно, высота цилиндра $H_{цил} = d\cot(\alpha/2)\tan\beta$.

Наконец, вычислим площадь осевого сечения цилиндра:$S_{сеч} = D_{цил} \cdot H_{цил} = (d\cos(\alpha/2)) \cdot (d\cot(\alpha/2)\tan\beta)$.$S_{сеч} = d^2 \cos(\alpha/2) \cdot \frac{\cos(\alpha/2)}{\sin(\alpha/2)} \cdot \tan\beta = d^2 \frac{\cos^2(\alpha/2)}{\sin(\alpha/2)} \tan\beta$.

Ответ: $d^2 \frac{\cos^2(\alpha/2)}{\sin(\alpha/2)} \tan\beta$.