Номер 123, страница 52 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

123. В цилиндр вписана правильная шестиугольная призма, а около него описана правильная четырёхугольная призма. Найдите отношение площадей боковых поверхностей этих призм.

123. В цилиндр вписана правильная шестиугольная призма, а около него описана правильная четырёхугольная призма. Найдите отношение площадей боковых поверхностей этих призм.

Пусть радиус основания цилиндра равен $R$, а его высота равна $H$. Так как обе призмы вписаны в цилиндр или описаны около него, их высота также равна $H$.

Сначала найдем площадь боковой поверхности вписанной правильной шестиугольной призмы. Основание этой призмы — правильный шестиугольник, вписанный в окружность основания цилиндра радиусом $R$. Сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, равна радиусу этой окружности. Обозначим сторону шестиугольника как $a_6$. Тогда $a_6 = R$.Периметр основания $P_6$ равен:$P_6 = 6 \cdot a_6 = 6R$.Площадь боковой поверхности шестиугольной призмы $S_6$ вычисляется как произведение периметра основания на высоту:$S_6 = P_6 \cdot H = 6RH$.

Теперь найдем площадь боковой поверхности описанной правильной четырёхугольной призмы. Ее основание — правильный четырёхугольник (то есть квадрат), описанный около окружности основания цилиндра. Сторона квадрата, описанного около окружности радиуса $R$, равна диаметру этой окружности. Обозначим сторону квадрата как $a_4$. Тогда $a_4 = 2R$.Периметр основания $P_4$ равен:$P_4 = 4 \cdot a_4 = 4 \cdot (2R) = 8R$.Площадь боковой поверхности четырёхугольной призмы $S_4$ равна:$S_4 = P_4 \cdot H = 8RH$.

Найдём отношение площадей боковых поверхностей этих призм (площади шестиугольной призмы к площади четырёхугольной призмы):
$\frac{S_6}{S_4} = \frac{6RH}{8RH} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$.

Ответ: $\frac{3}{4}$.