Страница 53 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

128. В правильную треугольную призму вписан цилиндр, радиус основания которого равен $R$, а диагональ осевого сечения образует с плоскостью основания угол $\alpha$. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

128. В правильную треугольную призму вписан цилиндр, радиус основания которого равен $R$, а диагональ осевого сечения образует с плоскостью основания угол $\alpha$. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Площадь боковой поверхности правильной призмы ($S_{бок}$) вычисляется по формуле $S_{бок} = P_{осн} \cdot H$, где $P_{осн}$ – периметр основания, а $H$ – высота призмы.

Найдем периметр основания призмы.
В основании правильной треугольной призмы лежит равносторонний треугольник. Поскольку цилиндр вписан в призму, его основание — круг радиуса $R$ — вписано в этот треугольник. Радиус $R$ вписанной в равносторонний треугольник окружности связан с его стороной $a$ формулой: $R = \frac{a}{2\sqrt{3}}$. Выразим сторону $a$ из этой формулы: $a = 2\sqrt{3}R$. Периметр основания $P_{осн}$ равен: $P_{осн} = 3a = 3 \cdot 2\sqrt{3}R = 6\sqrt{3}R$.

Найдем высоту призмы.
Высота призмы $H$ равна высоте вписанного цилиндра. Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник, его стороны — это диаметр основания цилиндра $D$ и его высота $H$. Диаметр основания $D = 2R$. Согласно условию, диагональ этого прямоугольника (осевого сечения) образует с плоскостью основания угол $\alpha$. Это означает, что угол между диагональю и стороной $D$ равен $\alpha$. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой $H$, диаметром $D$ и диагональю, выполняется соотношение: $\tan(\alpha) = \frac{H}{D}$. Отсюда находим высоту $H$: $H = D \tan(\alpha) = 2R \tan(\alpha)$.

Вычислим площадь боковой поверхности призмы.
Подставим найденные значения периметра $P_{осн}$ и высоты $H$ в исходную формулу: $S_{бок} = P_{осн} \cdot H = (6\sqrt{3}R) \cdot (2R \tan(\alpha)) = 12\sqrt{3}R^2 \tan(\alpha)$.
Ответ: $12\sqrt{3}R^2 \tan(\alpha)$.

129. Радиус основания конуса равен 5 см, а образующая — 11 см. Найдите высоту конуса.

129. Радиус основания конуса равен 5 см, а образующая — 11 см. Найдите высоту конуса.

Для нахождения высоты конуса воспользуемся связью между радиусом основания, высотой и образующей. Эти три величины образуют прямоугольный треугольник, где:
– радиус основания ($r$) — один катет;
– высота конуса ($h$) — второй катет;
– образующая ($l$) — гипотенуза.

По условию задачи нам даны:
– радиус основания $r = 5$ см;
– образующая $l = 11$ см.

Согласно теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:
$l^2 = r^2 + h^2$

Чтобы найти высоту $h$, выразим ее из этой формулы:
$h^2 = l^2 - r^2$
$h = \sqrt{l^2 - r^2}$

Подставим числовые значения в формулу:
$h = \sqrt{11^2 - 5^2} = \sqrt{121 - 25} = \sqrt{96}$

Упростим корень из 96. Для этого разложим подкоренное выражение на множители, выделив полный квадрат:
$96 = 16 \times 6$
Следовательно, $h = \sqrt{16 \times 6} = \sqrt{16} \times \sqrt{6} = 4\sqrt{6}$ см.

Ответ: $4\sqrt{6}$ см.

130. Радиус основания конуса равен 8 см, а его образующая больше высоты на 2 см. Найдите площадь осевого сечения конуса.

130. Радиус основания конуса равен 8 см, а его образующая больше высоты на 2 см. Найдите площадь осевого сечения конуса.

Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник. Основание этого треугольника равно диаметру основания конуса, а боковые стороны — образующим конуса. Высота треугольника является высотой конуса.

Пусть:

• $R$ — радиус основания конуса,
• $H$ — высота конуса,
• $l$ — образующая конуса.

Из условия задачи нам известно:

• $R = 8$ см,
• $l = H + 2$ см.

Высота $H$, радиус $R$ и образующая $l$ конуса образуют прямоугольный треугольник, в котором $l$ является гипотенузой, а $H$ и $R$ — катетами. По теореме Пифагора:

$l^2 = R^2 + H^2$

Подставим в это уравнение известные нам данные:

$(H + 2)^2 = 8^2 + H^2$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти высоту $H$. Раскроем скобки в левой части:

$H^2 + 4H + 4 = 64 + H^2$

Сократим $H^2$ в обеих частях уравнения:

$4H + 4 = 64$

$4H = 64 - 4$

$4H = 60$

$H = \frac{60}{4}$

$H = 15$ см.

Площадь осевого сечения ($S_{сеч}$) — это площадь равнобедренного треугольника с основанием $d = 2R$ и высотой $H$.

Формула для площади треугольника:

$S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot d \cdot H = \frac{1}{2} \cdot (2R) \cdot H = R \cdot H$

Подставим найденные значения $R$ и $H$:

$S_{сеч} = 8 \text{ см} \cdot 15 \text{ см} = 120 \text{ см}^2$

Ответ: $120 \text{ см}^2$.

131. Радиус основания конуса равен 5 см, а высота — 12 см. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

131. Радиус основания конуса равен 5 см, а высота — 12 см. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi \cdot r \cdot l$, где $r$ — это радиус основания конуса, а $l$ — длина его образующей.

В условии задачи даны радиус основания $r = 5$ см и высота конуса $h = 12$ см. Образующая $l$ неизвестна.

Радиус, высота и образующая конуса образуют прямоугольный треугольник, где $r$ и $h$ являются катетами, а $l$ — гипотенузой. Для нахождения длины образующей воспользуемся теоремой Пифагора: $l^2 = r^2 + h^2$.

Подставим известные значения в формулу: $l^2 = 5^2 + 12^2$ $l^2 = 25 + 144$ $l^2 = 169$ $l = \sqrt{169}$ $l = 13$ см.

Теперь мы можем найти площадь боковой поверхности конуса, подставив значения $r$ и $l$ в исходную формулу: $S_{бок} = \pi \cdot 5 \cdot 13 = 65\pi$ см².

Ответ: $65\pi$ см².

132. Осевое сечение конуса — треугольник со стороной 8 см и противолежащим к ней углом $120^\circ$. Найдите площадь полной поверхности конуса.

132. Осевое сечение конуса — треугольник со стороной $8$ см и противолежащим к ней углом $120^\circ$. Найдите площадь полной поверхности конуса.

Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник. Так как сумма углов в треугольнике равна 180°, угол в 120° может быть только углом при вершине этого треугольника. Если бы это был угол при основании, то сумма двух углов при основании была бы $120° + 120° = 240°$, что невозможно.

Следовательно, сторона длиной 8 см является основанием равнобедренного треугольника, так как она лежит напротив угла в 120°. Основание осевого сечения конуса равно диаметру его основания $D$.

Таким образом, диаметр основания конуса $D = 8$ см, а радиус $R = \frac{D}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.

Боковые стороны равнобедренного треугольника являются образующими конуса $L$. Углы при основании этого треугольника равны: $\frac{180° - 120°}{2} = \frac{60°}{2} = 30°$.

Чтобы найти длину образующей $L$, рассмотрим прямоугольный треугольник, который является половиной осевого сечения и образован высотой конуса $H$, радиусом $R$ и образующей $L$. В этом треугольнике $R$ является катетом, $L$ — гипотенузой, а угол между ними (угол при основании осевого сечения) равен 30°.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике:$ \cos(30°) = \frac{R}{L} $

Выразим отсюда образующую $L$:$ L = \frac{R}{\cos(30°)} = \frac{4}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{8}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{3}}{3} $ см.

Площадь полной поверхности конуса вычисляется по формуле, которая включает в себя площадь основания ($S_{осн} = \pi R^2$) и площадь боковой поверхности ($S_{бок} = \pi R L$):$ S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = \pi R^2 + \pi R L = \pi R (R + L) $

Подставим найденные значения $R = 4$ и $L = \frac{8\sqrt{3}}{3}$:$ S_{полн} = \pi \cdot 4 \cdot (4 + \frac{8\sqrt{3}}{3}) = 4\pi \left(\frac{12}{3} + \frac{8\sqrt{3}}{3}\right) = 4\pi \left(\frac{12 + 8\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{16\pi(3 + 2\sqrt{3})}{3} $ см$^2$.

Ответ: $ \frac{16\pi(3 + 2\sqrt{3})}{3} $ см$^2$.

133. Образующая конуса равна $a$ и наклонена к плоскости основания под углом $\alpha$. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

133. Образующая конуса равна $a$ и наклонена к плоскости основания под углом $\alpha$. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Площадь боковой поверхности конуса ($S_{бок}$) вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi r L$, где $r$ — радиус основания, а $L$ — длина образующей. По условию задачи, образующая $L = a$.

Угол наклона образующей к плоскости основания равен $\alpha$. Это угол между образующей и радиусом основания в осевом сечении конуса. Таким образом, высота конуса $H$, радиус $r$ и образующая $L$ образуют прямоугольный треугольник, где $L=a$ является гипотенузой, а $r$ — катетом, прилежащим к углу $\alpha$.

Из определения косинуса в прямоугольном треугольнике следует, что отношение прилежащего катета к гипотенузе равно косинусу угла: $\cos(\alpha) = \frac{r}{L}$. Подставляя известное значение $L=a$, получаем: $\cos(\alpha) = \frac{r}{a}$.

Отсюда находим радиус основания: $r = a \cos(\alpha)$.

Теперь подставим найденные выражения для $r$ и $L$ в формулу площади боковой поверхности:

$S_{бок} = \pi \cdot r \cdot L = \pi \cdot (a \cos(\alpha)) \cdot a = \pi a^2 \cos(\alpha)$.

Ответ: $ \pi a^2 \cos(\alpha) $

134. Через вершину конуса проведено сечение, пересекающее его основание по хорде, стягивающей дугу, градусная мера которой равна 60°. Расстояние от вершины конуса до этой хорды и её длина равны 12 см. Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью основания конуса.

134. Через вершину конуса проведено сечение, пересекающее его основание по хорде, стягивающей дугу, градусная мера которой равна $60^\circ$. Расстояние от вершины конуса до этой хорды и её длина равны 12 см. Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью основания конуса.

Обозначим вершину конуса как $S$, а центр его основания — как $O$. Сечение, проходящее через вершину конуса, представляет собой равнобедренный треугольник $ASB$, где $A$ и $B$ — точки на окружности основания, а хорда $AB$ — его основание.

1. Рассмотрим основание конуса. По условию, хорда $AB$ стягивает дугу, градусная мера которой равна $60^\circ$. Это означает, что центральный угол $ \angle AOB $ также равен $60^\circ$. Треугольник $ \triangle AOB $ является равнобедренным, так как $OA$ и $OB$ — радиусы основания ($OA = OB = R$). Равнобедренный треугольник с углом при вершине $60^\circ$ является равносторонним. Следовательно, $OA = OB = AB = R$.

По условию задачи, длина хорды $AB$ равна 12 см. Таким образом, радиус основания конуса $R$ также равен 12 см: $ R = AB = 12 $ см.

2. Угол между плоскостью сечения ($ASB$) и плоскостью основания конуса — это двугранный угол, образованный этими плоскостями. Его мерой является линейный угол, построенный на линии их пересечения, то есть на хорде $AB$.

Проведем из центра основания $O$ перпендикуляр $OM$ к хорде $AB$. Так как $ \triangle AOB $ — равносторонний, $OM$ является его высотой и медианой, значит $M$ — середина $AB$. Длину $OM$ можно найти как высоту равностороннего треугольника со стороной 12 см: $ OM = \frac{AB \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{12 \sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} $ см.

3. Рассмотрим сечение — треугольник $ \triangle ASB $. Он является равнобедренным, так как $AS$ и $BS$ — образующие конуса. Расстояние от вершины конуса $S$ до хорды $AB$ — это длина высоты $SM$, проведенной к основанию $AB$. По условию, это расстояние равно 12 см, следовательно, $ SM = 12 $ см.

4. Так как $ OM \perp AB $ (в плоскости основания) и $ SM \perp AB $ (в плоскости сечения), то угол $ \angle SMO $ является линейным углом двугранного угла между плоскостью сечения и плоскостью основания. Именно этот угол нам и нужно найти.

5. Рассмотрим треугольник $ \triangle SMO $. Отрезок $SO$ является высотой конуса, поэтому он перпендикулярен плоскости основания, а значит, и любой прямой в этой плоскости, проходящей через точку $O$. Таким образом, $ SO \perp OM $. Это означает, что $ \triangle SMO $ — прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине $O$.

В прямоугольном треугольнике $ \triangle SMO $ нам известны:

• катет $ OM = 6\sqrt{3} $ см;
• гипотенуза $ SM = 12 $ см.

Найдем косинус угла $ \angle SMO $: $ \cos(\angle SMO) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{OM}{SM} = \frac{6\sqrt{3}}{12} = \frac{\sqrt{3}}{2} $

Угол, косинус которого равен $ \frac{\sqrt{3}}{2} $, составляет $30^\circ$. Следовательно, искомый угол между плоскостью сечения и плоскостью основания конуса равен $30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$

135. В основании конуса проведена хорда, которая видна из центра основания под углом $\alpha$, а из вершины конуса — под углом $\beta$. Найдите образующую конуса, если радиус его основания равен $R$.

135. В основании конуса проведена хорда, которая видна из центра основания под углом $\alpha$, а из вершины конуса — под углом $\beta$. Найдите образующую конуса, если радиус его основания равен $R$.

Пусть вершина конуса — точка $S$, центр его основания — точка $O$, а концы хорды — точки $A$ и $B$. По условию задачи, радиус основания $OA = OB = R$, а образующая конуса $SA = SB = L$. Хорда видна из центра основания под углом $\alpha$, то есть $\angle AOB = \alpha$, а из вершины конуса — под углом $\beta$, то есть $\angle ASB = \beta$.

Сначала рассмотрим равнобедренный треугольник $AOB$, который лежит в основании конуса. Проведем в нем высоту $OM$ к основанию $AB$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой. Следовательно, точка $M$ является серединой хорды $AB$, а угол $\angle AOM = \frac{\alpha}{2}$. Из прямоугольного треугольника $AOM$ найдем половину длины хорды $AM$:$AM = OA \cdot \sin(\angle AOM) = R \sin(\frac{\alpha}{2})$Тогда вся длина хорды $AB$ равна:$AB = 2 \cdot AM = 2R \sin(\frac{\alpha}{2})$

Теперь рассмотрим равнобедренный треугольник $ASB$, образованный хордой и двумя образующими конуса. Проведем в нем высоту $SM$ к основанию $AB$. Эта высота также является медианой и биссектрисой, поэтому $\angle ASM = \frac{\beta}{2}$. Из прямоугольного треугольника $ASM$ выразим ту же самую половину длины хорды $AM$:$AM = SA \cdot \sin(\angle ASM) = L \sin(\frac{\beta}{2})$Соответственно, вся длина хорды $AB$ равна:$AB = 2 \cdot AM = 2L \sin(\frac{\beta}{2})$

Мы получили два выражения для длины одной и той же хорды $AB$. Приравняем их:$2R \sin(\frac{\alpha}{2}) = 2L \sin(\frac{\beta}{2})$Разделив обе части равенства на 2, получим:$R \sin(\frac{\alpha}{2}) = L \sin(\frac{\beta}{2})$Из этого соотношения выразим искомую образующую $L$:$L = \frac{R\sin(\frac{\alpha}{2})}{\sin(\frac{\beta}{2})}$

Ответ: $L = \frac{R\sin(\frac{\alpha}{2})}{\sin(\frac{\beta}{2})}$

136. Через две образующие конуса, угол между которыми равен $\alpha$, проведено сечение. Найдите площадь этого сечения, если радиус основания конуса равен $R$, а образующая наклонена к плоскости основания под углом $\beta$.

136. Через две образующие конуса, угол между которыми равен $\alpha$, проведено сечение. Найдите площадь этого сечения, если радиус основания конуса равен $R$, а образующая наклонена к плоскости основания под углом $\beta$.

Сечение представляет собой равнобедренный треугольник, боковыми сторонами которого являются две образующие конуса, а угол между ними равен $\alpha$. Площадь этого треугольника и будет являться искомой площадью сечения.

Обозначим длину образующей конуса как $L$. Площадь треугольника ($S$) с двумя сторонами $L$ и углом $\alpha$ между ними вычисляется по формуле:

$S = \frac{1}{2} L \cdot L \cdot \sin\alpha = \frac{1}{2} L^2 \sin\alpha$

Теперь необходимо найти длину образующей $L$ через известные величины: радиус основания $R$ и угол наклона образующей к плоскости основания $\beta$.

Рассмотрим осевое сечение конуса, проходящее через одну из образующих. Это будет прямоугольный треугольник, катетами которого являются высота конуса ($H$) и радиус основания ($R$), а гипотенузой — образующая ($L$). Угол между образующей (гипотенузой) и радиусом (катетом, лежащим в плоскости основания) по условию равен $\beta$.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике имеем:

$\cos\beta = \frac{R}{L}$

Отсюда выразим длину образующей $L$:

$L = \frac{R}{\cos\beta}$

Подставим полученное выражение для $L$ в формулу площади сечения:

$S = \frac{1}{2} \left(\frac{R}{\cos\beta}\right)^2 \sin\alpha = \frac{1}{2} \frac{R^2}{\cos^2\beta} \sin\alpha$

Таким образом, площадь сечения равна:

$S = \frac{R^2 \sin\alpha}{2\cos^2\beta}$

Ответ: $\frac{R^2 \sin\alpha}{2\cos^2\beta}$