Страница 50 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

106. В нижнем основании цилиндра проведена хорда, которую видно из центра этого основания под углом $60^\circ$. Отрезок, соединяющий центр верхнего основания и середину данной хорды, образует с плоскостью основания угол $45^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если длина данной хорды равна 12 см.

106. В нижнем основании цилиндра проведена хорда, которую видно из центра этого основания под углом $60^\circ$. Отрезок, соединяющий центр верхнего основания и середину данной хорды, образует с плоскостью основания угол $45^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если длина данной хорды равна 12 см.

Для нахождения площади боковой поверхности цилиндра используется формула $S_{бок} = 2 \pi R H$, где $R$ — радиус основания цилиндра, а $H$ — его высота. Для решения задачи необходимо найти значения $R$ и $H$.

Сначала найдем радиус основания $R$. Рассмотрим нижнее основание цилиндра. Пусть $O$ — центр этого основания, а $AB$ — данная хорда. По условию, длина хорды $AB = 12$ см. Угол, под которым эту хорду видно из центра основания, равен $60°$, то есть центральный угол $\angle AOB = 60°$. Треугольник $\triangle AOB$ является равнобедренным, так как его стороны $OA$ и $OB$ — это радиусы окружности основания ($OA = OB = R$). В равнобедренном треугольнике с углом при вершине $60°$ углы при основании также равны $(180° - 60°)/2 = 60°$. Следовательно, треугольник $\triangle AOB$ является равносторонним, и все его стороны равны. Таким образом, радиус основания $R = AB = 12$ см.

Теперь найдем высоту цилиндра $H$. Пусть $O_1$ — центр верхнего основания, а $M$ — середина хорды $AB$. Высота цилиндра $H$ равна расстоянию между основаниями, то есть $H = OO_1$. По условию, отрезок $O_1M$ образует с плоскостью основания угол $45°$. Угол между наклонной ($O_1M$) и плоскостью (нижнее основание) — это угол между самой наклонной и её проекцией на эту плоскость. Проекцией точки $O_1$ на плоскость нижнего основания является точка $O$, следовательно, проекцией наклонной $O_1M$ является отрезок $OM$. Таким образом, искомый угол — это $\angle O_1MO = 45°$.

Рассмотрим треугольник $\triangle O_1OM$. Так как $OO_1$ — высота цилиндра, она перпендикулярна плоскости основания, а значит, $OO_1 \perp OM$. Следовательно, $\triangle O_1OM$ — прямоугольный. В этом треугольнике катет $OO_1 = H$. Найдем длину второго катета $OM$. В равностороннем треугольнике $\triangle AOB$ отрезок $OM$ является медианой, а значит, и высотой. Из прямоугольного треугольника $\triangle OMA$ по теореме Пифагора находим $OM$: $OM = \sqrt{OA^2 - AM^2} = \sqrt{R^2 - (AB/2)^2} = \sqrt{12^2 - 6^2} = \sqrt{144 - 36} = \sqrt{108} = 6\sqrt{3}$ см.

В прямоугольном треугольнике $\triangle O_1OM$ мы знаем катет $OM = 6\sqrt{3}$ см и прилежащий к нему угол $\angle O_1MO = 45°$. Тангенс этого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему: $\tan(45°) = \frac{OO_1}{OM} = \frac{H}{6\sqrt{3}}$. Так как $\tan(45°) = 1$, получаем, что $H = 6\sqrt{3}$ см.

Наконец, вычислим площадь боковой поверхности цилиндра, подставив найденные значения $R = 12$ см и $H = 6\sqrt{3}$ см в формулу:

$S_{бок} = 2 \pi R H = 2 \pi \cdot 12 \cdot 6\sqrt{3} = 144\sqrt{3}\pi$ см$^2$.

Ответ: $144\sqrt{3}\pi$ см$^2$.

107. В нижнем основании цилиндра проведена хорда, которую видно из центра этого основания под углом $\alpha$, а из центра верхнего основания —под углом $\beta$. Расстояние от центра верхнего основания до конца проведённой хорды равно $a$. Найдите высоту цилиндра.

107. В нижнем основании цилиндра проведена хорда, которую видно из центра этого основания под углом $\alpha$, а из центра верхнего основания — под углом $\beta$. Расстояние от центра верхнего основания до конца проведённой хорды равно $a$. Найдите высоту цилиндра.

Пусть $O_1$ и $O_2$ — центры нижнего и верхнего оснований цилиндра, $R$ — радиус основания, а $H$ — его высота. Пусть $AB$ — хорда, проведенная в нижнем основании.

По условию, из центра нижнего основания $O_1$ хорда $AB$ видна под углом $\alpha$, то есть $\angle AO_1B = \alpha$. Треугольник $\triangle AO_1B$ является равнобедренным, так как $O_1A$ и $O_1B$ — радиусы основания ($O_1A = O_1B = R$). Длину хорды $AB$ можно выразить через радиус $R$ и угол $\alpha$:
$AB = 2R\sin(\frac{\alpha}{2})$.

Также по условию, из центра верхнего основания $O_2$ та же хорда $AB$ видна под углом $\beta$, то есть $\angle AO_2B = \beta$. Треугольник $\triangle AO_2B$ также является равнобедренным, поскольку расстояние от $O_2$ до концов хорды $A$ и $B$ одинаково и равно $a$ ($O_2A = O_2B = a$). Выразим длину хорды $AB$ через $a$ и угол $\beta$:
$AB = 2a\sin(\frac{\beta}{2})$.

Приравнивая два полученных выражения для длины хорды $AB$, мы можем найти радиус основания $R$:
$2R\sin(\frac{\alpha}{2}) = 2a\sin(\frac{\beta}{2})$,
откуда $R = a \frac{\sin(\frac{\beta}{2})}{\sin(\frac{\alpha}{2})}$.

Рассмотрим треугольник $\triangle O_1AO_2$. Он является прямоугольным с прямым углом при вершине $O_1$, так как высота цилиндра $H = O_1O_2$ перпендикулярна плоскости основания и, следовательно, перпендикулярна радиусу $O_1A$, лежащему в этой плоскости. Катетами этого треугольника являются высота $H$ и радиус $R$, а гипотенузой — отрезок $O_2A$, длина которого по условию равна $a$.

По теореме Пифагора для треугольника $\triangle O_1AO_2$:
$H^2 + R^2 = a^2$.

Выразим из этого уравнения высоту $H$ и подставим найденное ранее выражение для радиуса $R$:
$H^2 = a^2 - R^2 = a^2 - \left(a \frac{\sin(\frac{\beta}{2})}{\sin(\frac{\alpha}{2})}\right)^2 = a^2 \left(1 - \frac{\sin^2(\frac{\beta}{2})}{\sin^2(\frac{\alpha}{2})}\right)$.
Приводя выражение в скобках к общему знаменателю, получаем:
$H^2 = a^2 \frac{\sin^2(\frac{\alpha}{2}) - \sin^2(\frac{\beta}{2})}{\sin^2(\frac{\alpha}{2})}$.

Извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения, находим искомую высоту цилиндра:
$H = \sqrt{a^2 \frac{\sin^2(\frac{\alpha}{2}) - \sin^2(\frac{\beta}{2})}{\sin^2(\frac{\alpha}{2})}} = \frac{a}{\sin(\frac{\alpha}{2})} \sqrt{\sin^2(\frac{\alpha}{2}) - \sin^2(\frac{\beta}{2})}$.

Ответ: $H = \frac{a}{\sin(\frac{\alpha}{2})} \sqrt{\sin^2(\frac{\alpha}{2}) - \sin^2(\frac{\beta}{2})}$.

108. Радиус основания цилиндра равен 10 см, а образующая — 12 см. Параллельно оси цилиндра проведено сечение, диагональ которого равна 20 см. Найдите расстояние от оси цилиндра до плоскости сечения.

108. Радиус основания цилиндра равен 10 см, а образующая — 12 см. Параллельно оси цилиндра проведено сечение, диагональ которого равна 20 см. Найдите расстояние от оси цилиндра до плоскости сечения.

Обозначим радиус основания цилиндра как $R$, его образующую (которая равна высоте) как $H$, и диагональ сечения как $d$. Искомое расстояние от оси цилиндра до плоскости сечения обозначим как $x$.

По условию задачи имеем:
Радиус $R = 10$ см.
Образующая $H = 12$ см.
Диагональ сечения $d = 20$ см.

Сечение, проведенное параллельно оси цилиндра, представляет собой прямоугольник. Одна сторона этого прямоугольника равна высоте цилиндра $H$, а другая сторона является хордой $c$ в основании цилиндра. Диагональ этого прямоугольника, его стороны $H$ и $c$ связаны теоремой Пифагора:
$d^2 = H^2 + c^2$

Найдем длину хорды $c$ из этого соотношения:
$c^2 = d^2 - H^2$
$c^2 = 20^2 - 12^2 = 400 - 144 = 256$
$c = \sqrt{256} = 16$ см.

Теперь рассмотрим основание цилиндра. Это круг с центром в точке $O$ (точка на оси цилиндра) и радиусом $R = 10$ см. Расстояние от оси цилиндра до плоскости сечения равно расстоянию от центра основания $O$ до хорды $c$. Обозначим это расстояние как $x$.

Радиус, проведенный к концу хорды, половина хорды и расстояние от центра до хорды образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике:
- гипотенуза — это радиус $R = 10$ см,
- один катет — это половина хорды $c/2 = 16/2 = 8$ см,
- второй катет — это искомое расстояние $x$.

Снова применяем теорему Пифагора:
$R^2 = x^2 + (c/2)^2$

Выразим и найдем $x$:
$x^2 = R^2 - (c/2)^2$
$x^2 = 10^2 - 8^2 = 100 - 64 = 36$
$x = \sqrt{36} = 6$ см.

Ответ: 6 см.

109. Параллельно оси цилиндра проведено сечение, отсекающее от окружности основания дугу, градусная мера которой равна $90^\circ$. Проведённое сечение является квадратом, а расстояние от центра основания цилиндра до плоскости сечения равно 2 см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

109. Параллельно оси цилиндра проведено сечение, отсекающее от окружности основания дугу, градусная мера которой равна 90°. Проведённое сечение является квадратом, а расстояние от центра основания цилиндра до плоскости сечения равно 2 см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Обозначим радиус основания цилиндра как $R$, а высоту как $H$.

Сечение, параллельное оси цилиндра, представляет собой прямоугольник. По условию, это сечение является квадратом. Пусть сторона этого квадрата равна $a$. Одна сторона квадрата — это хорда $AB$ в основании цилиндра, а другая сторона равна высоте цилиндра $H$. Следовательно, $H = a$.

Рассмотрим основание цилиндра. Это окружность с центром $O$ и радиусом $R$. Хорда $AB$ отсекает дугу с градусной мерой $90^\circ$. Это означает, что центральный угол $\angle AOB$, опирающийся на эту дугу, также равен $90^\circ$.

Треугольник $\triangle AOB$ является равнобедренным ($OA = OB = R$) и прямоугольным. Мы можем найти длину хорды $AB$ (стороны квадрата $a$) по теореме Пифагора:
$AB^2 = OA^2 + OB^2$
$a^2 = R^2 + R^2 = 2R^2$
Отсюда $a = R\sqrt{2}$.

Расстояние от центра основания $O$ до плоскости сечения равно расстоянию от точки $O$ до хорды $AB$. Обозначим это расстояние как $d$. По условию $d = 2$ см. Это расстояние является высотой $OM$, проведенной из центра $O$ к хорде $AB$ в треугольнике $\triangle AOB$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OMA$ (где $M$ — середина хорды $AB$). Его гипотенуза $OA = R$, а катеты $OM = d = 2$ см и $AM = \frac{AB}{2} = \frac{a}{2}$. По теореме Пифагора для $\triangle OMA$ получаем:
$OA^2 = OM^2 + AM^2$
$R^2 = d^2 + (\frac{a}{2})^2$
$R^2 = 2^2 + \frac{a^2}{4} = 4 + \frac{a^2}{4}$.

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными $R$ и $a$:
1. $a = R\sqrt{2}$
2. $R^2 = 4 + \frac{a^2}{4}$
Подставим выражение для $a$ из первого уравнения во второе:
$R^2 = 4 + \frac{(R\sqrt{2})^2}{4}$
$R^2 = 4 + \frac{2R^2}{4}$
$R^2 = 4 + \frac{R^2}{2}$

Решим полученное уравнение относительно $R^2$:
$R^2 - \frac{R^2}{2} = 4$
$\frac{R^2}{2} = 4$
$R^2 = 8$
$R = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ см.

Теперь найдем сторону квадрата $a$, которая также является высотой цилиндра $H$:
$a = R\sqrt{2} = (2\sqrt{2}) \cdot \sqrt{2} = 2 \cdot 2 = 4$ см.
Таким образом, $H = a = 4$ см.

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле:
$S_{бок} = 2\pi RH$
Подставим найденные значения $R$ и $H$ в формулу:
$S_{бок} = 2\pi \cdot (2\sqrt{2}) \cdot 4 = 16\pi\sqrt{2}$ см².

Ответ: $16\pi\sqrt{2}$ см².

110. Площадь осевого сечения цилиндра равна $S$. Найдите площадь сечения цилиндра, проходящего параллельно его оси на расстоянии, равном половине радиуса основания цилиндра.

110. Площадь осевого сечения цилиндра равна $S$. Найдите площадь сечения цилиндра, проходящего параллельно его оси на расстоянии, равном половине радиуса основания цилиндра.

Пусть $R$ — радиус основания цилиндра, а $H$ — его высота.

Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник со сторонами, равными диаметру основания $D = 2R$ и высоте цилиндра $H$. Площадь этого сечения, по условию равная $S$, вычисляется по формуле:

$S = D \cdot H = 2R \cdot H$

Из этого равенства выразим произведение $R \cdot H$:

$R \cdot H = \frac{S}{2}$

Сечение, проходящее параллельно оси цилиндра, также является прямоугольником. Одна его сторона равна высоте цилиндра $H$, а другая — хорде $a$ в основании цилиндра. Площадь искомого сечения (обозначим её $S_{сеч}$) равна произведению этих сторон:

$S_{сеч} = a \cdot H$

По условию, это сечение удалено от оси цилиндра на расстояние $d$, равное половине радиуса основания, то есть $d = \frac{R}{2}$.

Для нахождения длины хорды $a$ рассмотрим основание цилиндра (круг радиуса $R$). Хорда $a$ находится на расстоянии $d = \frac{R}{2}$ от центра круга. Применим теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику, образованному радиусом, проведенным к концу хорды (гипотенуза $R$), перпендикуляром от центра к хорде (катет $d = \frac{R}{2}$) и половиной хорды (катет $\frac{a}{2}$).

Согласно теореме Пифагора:

$R^2 = d^2 + (\frac{a}{2})^2$

Подставим известное значение $d$:

$R^2 = (\frac{R}{2})^2 + (\frac{a}{2})^2$

$R^2 = \frac{R^2}{4} + \frac{a^2}{4}$

Выразим из этого уравнения $a^2$:

$\frac{a^2}{4} = R^2 - \frac{R^2}{4} = \frac{3R^2}{4}$

$a^2 = 3R^2$

Поскольку длина хорды $a$ является положительной величиной, получаем:

$a = R\sqrt{3}$

Теперь можем вычислить площадь искомого сечения, подставив найденное значение $a$ в формулу для $S_{сеч}$:

$S_{сеч} = a \cdot H = (R\sqrt{3}) \cdot H = (R \cdot H)\sqrt{3}$

Ранее мы выразили $R \cdot H = \frac{S}{2}$. Подставим это в полученное выражение для площади сечения:

$S_{сеч} = \frac{S}{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{S\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $\frac{S\sqrt{3}}{2}$

111. Прямоугольник $AA_1B_1B$ — осевое сечение цилиндра, отрезок $CC_1$ — образующая цилиндра. Угол между плоскостями $AA_1B$ и $AA_1C$ равен $60^\circ$. Площадь осевого сечения цилиндра равна $S$. Найдите площадь сечения цилиндра плоскостью $AA_1C$.

111. Прямоугольник $AA_1B_1B$ — осевое сечение цилиндра, отрезок $CC_1$ — образующая цилиндра. Угол между плоскостями $AA_1B$ и $AA_1C$ равен $60^\circ$. Площадь осевого сечения цилиндра равна $S$. Найдите площадь сечения цилиндра плоскостью $AA_1C$.

Решение:

Пусть $h$ — высота цилиндра, а $R$ — радиус его основания.

Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник $AA_1B_1B$, стороны которого равны диаметру основания $AB$ и высоте цилиндра $AA_1$.

Высота цилиндра $h = AA_1$. Диаметр основания $d = AB = 2R$.

Площадь осевого сечения $S$ задана по условию:

$S = AB \cdot AA_1 = 2R \cdot h$

Сечение цилиндра плоскостью $AA_1C$ — это прямоугольник $AA_1CC_1$, так как $AA_1$ и $CC_1$ — параллельные образующие. Стороны этого прямоугольника равны высоте цилиндра $AA_1 = h$ и хорде основания $AC$.

Площадь этого сечения, которую нам нужно найти, обозначим как $S_{сеч}$.

$S_{сеч} = AC \cdot AA_1 = AC \cdot h$

Угол между плоскостями $AA_1B$ и $AA_1C$ — это двугранный угол. Его линейной мерой является угол между лучами, которые лежат в этих плоскостях и перпендикулярны их линии пересечения $AA_1$.

Так как образующая $AA_1$ перпендикулярна плоскости основания, то отрезки $AB$ и $AC$, лежащие в плоскости основания, перпендикулярны $AA_1$.

Следовательно, угол между плоскостями равен углу между отрезками $AB$ и $AC$, то есть $\angle BAC = 60^\circ$.

Рассмотрим основание цилиндра. В окружности основания $AB$ — это диаметр, а $AC$ — хорда. Точки $A$, $B$, $C$ лежат на окружности. Треугольник $ABC$ вписан в окружность, и одна из его сторон ($AB$) является диаметром. Это означает, что треугольник $ABC$ — прямоугольный, с прямым углом $\angle ACB = 90^\circ$.

В прямоугольном треугольнике $ABC$ мы можем найти катет $AC$ через гипотенузу $AB$ и прилежащий угол $\angle BAC$:

$AC = AB \cdot \cos(\angle BAC)$

Подставим известные значения:

$AC = 2R \cdot \cos(60^\circ) = 2R \cdot \frac{1}{2} = R$

Теперь найдем площадь искомого сечения:

$S_{сеч} = AC \cdot h = R \cdot h$

Мы знаем, что площадь осевого сечения $S = 2R \cdot h$. Отсюда можно выразить произведение $R \cdot h$:

$R \cdot h = \frac{S}{2}$

Таким образом, площадь сечения $AA_1C$ равна:

$S_{сеч} = \frac{S}{2}$

Ответ: $\frac{S}{2}$

112. Параллельно оси цилиндра проведено сечение, площадь которого равна S, а диагональ сечения образует с плоскостью основания угол $\alpha$. Сечение пересекает нижнее основание цилиндра по хорде, которая видна из центра этого основания под углом $\beta$. Найдите высоту цилиндра и радиус его основания.

112. Параллельно оси цилиндра проведено сечение, площадь которого равна $S$, а диагональ сечения образует с плоскостью основания угол $\alpha$. Сечение пересекает нижнее основание цилиндра по хорде, которая видна из центра этого основания под углом $\beta$. Найдите высоту цилиндра и радиус его основания.

Пусть сечение представляет собой прямоугольник, стороны которого — это хорда в основании цилиндра и высота цилиндра. Обозначим длину хорды как $a$, а высоту цилиндра как $H$.

Площадь сечения $S$ равна произведению его сторон:

$S = a \cdot H$

Диагональ сечения (обозначим ее $d$) образует с плоскостью основания угол $\alpha$. Проекцией этой диагонали на плоскость основания является хорда $a$. Таким образом, высота $H$, хорда $a$ и диагональ $d$ образуют прямоугольный треугольник, в котором:

$\tan(\alpha) = \frac{H}{a}$

Высота цилиндра

Из соотношения $\tan(\alpha) = \frac{H}{a}$ выразим длину хорды $a$ через высоту $H$:

$a = \frac{H}{\tan(\alpha)} = H \cot(\alpha)$

Подставим это выражение в формулу для площади сечения:

$S = (H \cot(\alpha)) \cdot H = H^2 \cot(\alpha)$

Отсюда найдем высоту $H$:

$H^2 = \frac{S}{\cot(\alpha)} = S \tan(\alpha)$

$H = \sqrt{S \tan(\alpha)}$

Ответ: $H = \sqrt{S \tan(\alpha)}$

Радиус его основания

Рассмотрим основание цилиндра. Хорда $a$ видна из центра основания под углом $\beta$. Пусть $R$ — радиус основания. Хорда и два радиуса, проведенные к ее концам, образуют равнобедренный треугольник с боковыми сторонами $R$ и углом между ними $\beta$.

Длину хорды можно найти по формуле:

$a = 2R \sin(\frac{\beta}{2})$

Отсюда радиус $R$ равен:

$R = \frac{a}{2 \sin(\frac{\beta}{2})}$

Теперь найдем длину хорды $a$, используя площадь сечения $S$ и угол $\alpha$. Из формулы $H = a \tan(\alpha)$ и $S = a \cdot H$ получим:

$S = a \cdot (a \tan(\alpha)) = a^2 \tan(\alpha)$

$a^2 = \frac{S}{\tan(\alpha)} = S \cot(\alpha)$

$a = \sqrt{S \cot(\alpha)}$

Подставим найденное значение $a$ в формулу для радиуса $R$:

$R = \frac{\sqrt{S \cot(\alpha)}}{2 \sin(\frac{\beta}{2})}$

Ответ: $R = \frac{\sqrt{S \cot(\alpha)}}{2 \sin(\frac{\beta}{2})}$