Страница 43 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

30. Даны координаты трёх вершин параллелограмма $ABCD: B (-3; 2; -4), C (3; -2; 1)$ и $D (-6; 4; 2)$. Используя векторы, найдите координаты вершины $A$.

30. Даны координаты трёх вершин параллелограмма $ABCD: B (-3; 2; -4), C (3; -2; 1) \text{ и } D (-6; 4; 2).$ Используя векторы, найдите координаты вершины $A$.

Для параллелограмма $ABCD$ выполняется векторное равенство, согласно которому векторы, образованные противоположными сторонами, равны. Например, $\vec{AD} = \vec{BC}$. Мы используем это свойство для нахождения координат вершины $A$.

Пусть искомые координаты вершины $A$ будут $(x; y; z)$.

1. Найдем координаты вектора $\vec{BC}$, зная координаты точек $B(-3; 2; -4)$ и $C(3; -2; 1)$. Координаты вектора равны разности соответствующих координат его конца и начала:
$\vec{BC} = (3 - (-3); -2 - 2; 1 - (-4)) = (6; -4; 5)$.

2. Выразим координаты вектора $\vec{AD}$ через неизвестные координаты точки $A(x; y; z)$ и известные координаты точки $D(-6; 4; 2)$:
$\vec{AD} = (-6 - x; 4 - y; 2 - z)$.

3. Так как векторы $\vec{AD}$ и $\vec{BC}$ равны, их соответствующие координаты также должны быть равны. Приравняем их и получим систему уравнений:
$-6 - x = 6$
$4 - y = -4$
$2 - z = 5$

4. Решая эту систему, находим координаты точки $A$:
$x = -6 - 6 = -12$
$y = 4 - (-4) = 4 + 4 = 8$
$z = 2 - 5 = -3$

Следовательно, координаты вершины $A$ равны $(-12; 8; -3)$.

Ответ: $A(-12; 8; -3)$.

31. Найдите среди векторов $\vec{a} (5; -3; 4)$, $\vec{b} (-2; 1; -7)$, $\vec{c} (2; -6; \sqrt{10})$, $\vec{d} (-3; 6; 3)$ и $\vec{m} (-5; 5; -2)$ векторы, имеющие равные модули.

31. Найдите среди векторов $\vec{a} (5; -3; 4)$, $\vec{b} (-2; 1; -7)$, $\vec{c} (2; -6; \sqrt{10})$, $\vec{d} (-3; 6; 3)$ и $\vec{m} (-5; 5; -2)$ векторы, имеющие равные модули.

Чтобы найти векторы, имеющие равные модули, необходимо вычислить модуль (длину) каждого из заданных векторов. Модуль вектора $\vec{v}(x; y; z)$ вычисляется по формуле:

$|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$

Вычислим модули для каждого из векторов:

Для вектора $\vec{a} (5; -3; 4)$:

$|\vec{a}| = \sqrt{5^2 + (-3)^2 + 4^2} = \sqrt{25 + 9 + 16} = \sqrt{50}$

Для вектора $\vec{b} (-2; 1; -7)$:

$|\vec{b}| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + (-7)^2} = \sqrt{4 + 1 + 49} = \sqrt{54}$

Для вектора $\vec{c} (2; -6; \sqrt{10})$:

$|\vec{c}| = \sqrt{2^2 + (-6)^2 + (\sqrt{10})^2} = \sqrt{4 + 36 + 10} = \sqrt{50}$

Для вектора $\vec{d} (-3; 6; 3)$:

$|\vec{d}| = \sqrt{(-3)^2 + 6^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 36 + 9} = \sqrt{54}$

Для вектора $\vec{m} (-5; 5; -2)$:

$|\vec{m}| = \sqrt{(-5)^2 + 5^2 + (-2)^2} = \sqrt{25 + 25 + 4} = \sqrt{54}$

Сравнивая вычисленные модули, мы видим, что $|\vec{a}| = |\vec{c}| = \sqrt{50}$ и $|\vec{b}| = |\vec{d}| = |\vec{m}| = \sqrt{54}$.

Ответ: Равные модули имеют векторы $\vec{a}$ и $\vec{c}$, а также векторы $\vec{b}$, $\vec{d}$ и $\vec{m}$.

32. Найдите модуль вектора $\vec{BF}$, если $B (-2; 4; 8)$, $F (-3; 3; 6)$.

32. Найдите модуль вектора $\vec{BF}$, если $B (-2; 4; 8)$, $F (-3; 3; 6)$.

Для того чтобы найти модуль (длину) вектора $\vec{BF}$, сначала необходимо найти его координаты. Координаты вектора находятся путем вычитания соответствующих координат его начальной точки из координат его конечной точки.

Начальная точка вектора — $B(-2; 4; 8)$.
Конечная точка вектора — $F(-3; 3; 6)$.

Найдем координаты вектора $\vec{BF} = (x_F - x_B; y_F - y_B; z_F - z_B)$:
$x = -3 - (-2) = -3 + 2 = -1$
$y = 3 - 4 = -1$
$z = 6 - 8 = -2$
Таким образом, координаты вектора $\vec{BF}$ равны $(-1; -1; -2)$.

Модуль вектора $\vec{a} = (a_x; a_y; a_z)$ вычисляется по формуле:
$|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}$

Теперь вычислим модуль вектора $\vec{BF}$, подставив его координаты в формулу:
$|\vec{BF}| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}$

Ответ: $\sqrt{6}$

33. Модуль вектора $\vec{n} (x; -10; 8)$ равен 13. Найдите значение $x$.

33. Модуль вектора $\vec{n}(x; -10; 8)$ равен 13. Найдите значение $x$.

Модуль (или длина) вектора с координатами $(n_x; n_y; n_z)$ вычисляется по формуле: $|\vec{n}| = \sqrt{n_x^2 + n_y^2 + n_z^2}$.

По условию задачи, нам дан вектор $\vec{n}(x; -10; 8)$, и его модуль равен 13. Подставим эти данные в формулу:

$\sqrt{x^2 + (-10)^2 + 8^2} = 13$

Для того чтобы избавиться от квадратного корня, возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x^2 + (-10)^2 + 8^2})^2 = 13^2$

$x^2 + 100 + 64 = 169$

Сложим числа в левой части уравнения:

$x^2 + 164 = 169$

Теперь выразим $x^2$:

$x^2 = 169 - 164$

$x^2 = 5$

Отсюда находим значения $x$:

$x = \sqrt{5}$ или $x = -\sqrt{5}$.

Ответ: $\pm\sqrt{5}$.

34. Модуль вектора $\vec{n} (x; y; z)$ равен $3\sqrt{3}$, его координаты x и y равны, а координаты x и z — противоположные числа. Найдите координаты вектора $\vec{n}$.

34. Модуль вектора $\vec{n} (x; y; z)$ равен $3\sqrt{3}$, его координаты $x$ и $y$ равны, а координаты $x$ и $z$ — противоположные числа. Найдите координаты вектора $\vec{n}$.

Пусть вектор $\vec{n}$ имеет координаты $(x; y; z)$.

Исходя из условий задачи, мы можем установить следующие соотношения между координатами:

1. Координаты $x$ и $y$ равны, следовательно, $y = x$.

2. Координаты $x$ и $z$ — противоположные числа, следовательно, $z = -x$.

Таким образом, координаты вектора $\vec{n}$ можно выразить через одну переменную $x$: $(x; x; -x)$.

Модуль (или длина) вектора $\vec{n}$ с координатами $(x; y; z)$ вычисляется по формуле:

$|\vec{n}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$

Подставим в эту формулу выражения для $y$ и $z$ через $x$, а также данное в условии значение модуля $|\vec{n}| = 3\sqrt{3}$:

$3\sqrt{3} = \sqrt{x^2 + (x)^2 + (-x)^2}$

Упростим выражение под корнем:

$3\sqrt{3} = \sqrt{x^2 + x^2 + x^2} = \sqrt{3x^2}$

Для решения полученного уравнения возведем обе его части в квадрат:

$(3\sqrt{3})^2 = (\sqrt{3x^2})^2$

$9 \cdot 3 = 3x^2$

$27 = 3x^2$

Разделим обе части на 3:

$x^2 = 9$

Это уравнение имеет два корня: $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.

Теперь найдем полные координаты вектора для каждого из найденных значений $x$:

1. Если $x = 3$, то $y = 3$ и $z = -3$. Координаты вектора: $(3; 3; -3)$.

2. Если $x = -3$, то $y = -3$ и $z = -(-3) = 3$. Координаты вектора: $(-3; -3; 3)$.

Ответ: Координаты вектора $\vec{n}$ равны $(3; 3; -3)$ или $(-3; -3; 3)$.

35. Найдите точку, являющуюся прообразом точки $C (2; -6; 1)$ при параллельном переносе на вектор $\vec{b} (-8; 4; 3)$.

35. Найдите точку, являющуюся прообразом точки $C (2; -6; 1)$ при параллельном переносе на вектор $\vec{b} (-8; 4; 3).$

Пусть искомая точка (прообраз) имеет координаты $A(x; y; z)$. Точка $C(2; -6; 1)$ является ее образом при параллельном переносе на вектор $\vec{b}(-8; 4; 3)$.

Параллельный перенос точки $A(x_A; y_A; z_A)$ в точку $C(x_C; y_C; z_C)$ на вектор $\vec{b}(b_x; b_y; b_z)$ задается следующими соотношениями:

$x_C = x_A + b_x$
$y_C = y_A + b_y$
$z_C = z_A + b_z$

Чтобы найти координаты прообраза $A$, необходимо выразить их из этих формул:

$x_A = x_C - b_x$
$y_A = y_C - b_y$
$z_A = z_C - b_z$

Теперь подставим известные координаты точки $C(2; -6; 1)$ и вектора $\vec{b}(-8; 4; 3)$:

$x_A = 2 - (-8) = 2 + 8 = 10$
$y_A = -6 - 4 = -10$
$z_A = 1 - 3 = -2$

Таким образом, искомая точка (прообраз) имеет координаты $(10; -10; -2)$.

Ответ: $(10; -10; -2)$.

36. Существует ли параллельный перенос, при котором образом точки $C (8; -9; 11)$ является точка $C_1 (4; -4; 8)$, а образом точки $D (1; -6; 13)$ — точка $D_1 (-3; -1; 10)$?

36. Существует ли параллельный перенос, при котором образом точки $C (8; -9; 11)$ является точка $C_1 (4; -4; 8)$, а образом точки $D (1; -6; 13)$ — точка $D_1 (-3; -1; 10)$?

Параллельный перенос — это преобразование пространства, при котором все точки сдвигаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние. Такое преобразование задается вектором переноса. Если точка $A(x_A; y_A; z_A)$ переходит в точку $A_1(x_{A1}; y_{A1}; z_{A1})$, то вектор переноса $\vec{v}$ имеет координаты $(x_{A1} - x_A; y_{A1} - y_A; z_{A1} - z_A)$.

Чтобы определить, существует ли единый параллельный перенос для двух пар точек, необходимо найти векторы переноса для каждой пары и сравнить их. Если векторы окажутся одинаковыми, то такой перенос существует.

1. Найдем вектор переноса $\vec{v_1}$, который переводит точку $C(8; -9; 11)$ в точку $C_1(4; -4; 8)$.

Координаты вектора $\vec{v_1}$ равны разности соответствующих координат точек $C_1$ и $C$:
$x_1 = 4 - 8 = -4$
$y_1 = -4 - (-9) = -4 + 9 = 5$
$z_1 = 8 - 11 = -3$
Таким образом, вектор переноса $\vec{v_1} = (-4; 5; -3)$.

2. Найдем вектор переноса $\vec{v_2}$, который переводит точку $D(1; -6; 13)$ в точку $D_1(-3; -1; 10)$.

Координаты вектора $\vec{v_2}$ равны разности соответствующих координат точек $D_1$ и $D$:
$x_2 = -3 - 1 = -4$
$y_2 = -1 - (-6) = -1 + 6 = 5$
$z_2 = 10 - 13 = -3$
Таким образом, вектор переноса $\vec{v_2} = (-4; 5; -3)$.

3. Сравним полученные векторы.

Вектор $\vec{v_1} = (-4; 5; -3)$ и вектор $\vec{v_2} = (-4; 5; -3)$. Поскольку $\vec{v_1} = \vec{v_2}$, это означает, что обе пары точек смещаются на один и тот же вектор. Следовательно, такой параллельный перенос существует.

Ответ: да, существует.

37. Дана призма $ABCA_1B_1C_1$ (рис. 14). Найдите сумму векторов:

1) $\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{B_1A_1}$;

2) $\overrightarrow{CC_1} + \overrightarrow{B_1A}$.

Рис. 14

37. Дана призма $ABC A_1 B_1 C_1$ (рис. 14). Найдите сумму векторов:

1) $\vec{CB} + \vec{B_1 A}$;

2) $\vec{CC_1} + \vec{B_1 A}$.

Рис. 14

1) Для нахождения суммы векторов $\vec{CB} + \vec{B_1A_1}$ воспользуемся свойствами призмы $ABCA_1B_1C_1$.
Основания призмы, треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$, параллельны и равны. Это означает, что соответствующие стороны оснований параллельны и равны по длине, поэтому соответствующие векторы равны:
$\vec{B_1A_1} = \vec{BA}$
Подставим это равенство в исходное выражение:
$\vec{CB} + \vec{B_1A_1} = \vec{CB} + \vec{BA}$
Теперь, согласно правилу треугольника (или правилу Шаля) для сложения векторов, если начало второго вектора совпадает с концом первого, то их сумма — это вектор, идущий из начала первого в конец второго. В данном случае:
$\vec{CB} + \vec{BA} = \vec{CA}$

Ответ: $\vec{CA}$

2) Для нахождения суммы векторов $\vec{CC_1} + \vec{B_1A}$ также воспользуемся свойствами призмы.
Боковые ребра призмы параллельны и равны. Следовательно, векторы, лежащие на этих ребрах, равны между собой:
$\vec{CC_1} = \vec{BB_1} = \vec{AA_1}$
Заменим в исходном выражении вектор $\vec{CC_1}$ на равный ему вектор $\vec{BB_1}$:
$\vec{CC_1} + \vec{B_1A} = \vec{BB_1} + \vec{B_1A}$
Применим правило треугольника для сложения векторов $\vec{BB_1}$ и $\vec{B_1A}$. Конец первого вектора (точка $B_1$) является началом второго вектора. Значит, их сумма — это вектор, соединяющий начало первого вектора (точка $B$) и конец второго (точка $A$):
$\vec{BB_1} + \vec{B_1A} = \vec{BA}$

Ответ: $\vec{BA}$

38. На рисунке 15 изображён параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Найдите сумму векторов:

1) $\overrightarrow{B_1D_1} + \overrightarrow{CB};$

2) $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{B_1D} + \overrightarrow{CC_1}.$

Рис. 15

38. На рисунке 15 изображён параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Найдите сумму векторов:

1) $\vec{B_1D_1} + \vec{CB};$

2) $\vec{AB} + \vec{B_1D} + \vec{CC_1}.$

Рис. 15

Для решения задачи воспользуемся свойствами векторов в параллелепипеде. В параллелепипеде противолежащие грани являются равными параллелограммами, поэтому векторы, соответствующие параллельным и сонаправленным ребрам, равны. Например, $\overline{A_1B_1} = \overline{AB}$, $\overline{BC} = \overline{A_1D_1}$, $\overline{AA_1} = \overline{BB_1}$ и т.д. Также будем использовать правило треугольника для сложения векторов: $\overline{XY} + \overline{YZ} = \overline{XZ}$.

1) Найдем сумму векторов $\overline{B_1D_1} + \overline{CB}$.

Векторы, соединяющие соответственные вершины верхнего и нижнего оснований, равны. В частности, диагонали верхнего и нижнего оснований образуют равные векторы: $\overline{B_1D_1} = \overline{BD}$.

Также в параллелограмме $ABCD$ стороны $BC$ и $AD$ параллельны и равны, но векторы $\overline{CB}$ и $\overline{AD}$ противоположно направлены, а векторы $\overline{CB}$ и $\overline{DA}$ равны ($\overline{CB} = \overline{DA}$).

Заменим в исходном выражении вектор $\overline{B_1D_1}$ на равный ему вектор $\overline{BD}$:

$\overline{B_1D_1} + \overline{CB} = \overline{BD} + \overline{CB}$

Воспользуемся свойством коммутативности (переместительности) сложения векторов и применим правило треугольника:

$\overline{CB} + \overline{BD} = \overline{CD}$

Ответ: $\overline{CD}$

2) Найдем сумму векторов $\overline{AB} + \overline{B_1D} + \overline{CC_1}$.

Для удобства сложения заменим некоторые векторы на равные им. Боковые ребра параллелепипеда параллельны и равны, поэтому $\overline{CC_1} = \overline{BB_1}$.

Подставим это в исходное выражение:

$\overline{AB} + \overline{B_1D} + \overline{CC_1} = \overline{AB} + \overline{B_1D} + \overline{BB_1}$

Переставим векторы, чтобы применить правило треугольника последовательно:

$\overline{AB} + \overline{BB_1} + \overline{B_1D}$

Сначала сложим первые два вектора:

$\overline{AB} + \overline{BB_1} = \overline{AB_1}$

Теперь прибавим к результату третий вектор:

$\overline{AB_1} + \overline{B_1D} = \overline{AD}$

Таким образом, искомая сумма векторов равна вектору $\overline{AD}$.

Ответ: $\overline{AD}$