Страница 45 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

51. Известно, что $\left|\vec{a}\right| = 12$. Найдите модуль вектора $\vec{b}$, если:

1) $\vec{b} = \frac{1}{3}\vec{a};$

2) $\vec{b} = -4\vec{a}.$

51. Известно, что $\left|\vec{a}\right|=12$. Найдите модуль вектора $\vec{b}$, если:

1) $\vec{b}=\frac{1}{3}\vec{a};$

2) $\vec{b}=-4\vec{a}.$

1) По условию задачи известно, что модуль вектора $\vec{a}$ равен 12, то есть $|\vec{a}| = 12$. Вектор $\vec{b}$ связан с вектором $\vec{a}$ соотношением $\vec{b} = \frac{1}{3}\vec{a}$.
Для нахождения модуля вектора $\vec{b}$ воспользуемся свойством модуля произведения вектора на число: $|k\vec{v}| = |k| \cdot |\vec{v}|$, где $k$ — скаляр, а $\vec{v}$ — вектор.
В данном случае $k = \frac{1}{3}$. Тогда:
$|\vec{b}| = |\frac{1}{3}\vec{a}| = |\frac{1}{3}| \cdot |\vec{a}|$
Подставляем известное значение $|\vec{a}| = 12$:
$|\vec{b}| = \frac{1}{3} \cdot 12 = 4$
Ответ: 4

2) В этом случае вектор $\vec{b}$ связан с вектором $\vec{a}$ соотношением $\vec{b} = -4\vec{a}$.
Используем то же свойство модуля произведения вектора на число. Здесь скаляр $k = -4$.
$|\vec{b}| = |-4\vec{a}| = |-4| \cdot |\vec{a}|$
Модуль числа $-4$ равен $4$. Подставляем известные значения:
$|\vec{b}| = 4 \cdot |\vec{a}| = 4 \cdot 12 = 48$
Ответ: 48

52. Какими векторами, сонаправленными или противоположно направленными, являются векторы $\vec{c}$ и $\vec{d}$, если:

1) $\vec{c} = 9\vec{d};$

2) $\vec{d} = -\frac{3}{11}\vec{c}?$

52. Какими векторами, сонаправленными или противоположно направленными, являются векторы $\vec{c}$ и $\vec{d}$, если:

1) $\vec{c} = 9\vec{d};$

2) $\vec{d} = -\frac{3}{11}\vec{c}?$

Для определения направления векторов, связанных соотношением вида $\vec{a} = k \cdot \vec{b}$, где $k$ — некоторое число (скаляр), используется следующее правило:

1. Если коэффициент $k > 0$, то векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ сонаправлены (направлены в одну и ту же сторону).

2. Если коэффициент $k < 0$, то векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ противоположно направлены (направлены в противоположные стороны).

1) $\vec{c} = 9\vec{d}$

В данном случае векторы связаны соотношением $\vec{c} = k\vec{d}$ с коэффициентом $k = 9$.

Поскольку $k = 9 > 0$, векторы $\vec{c}$ и $\vec{d}$ являются сонаправленными.

Ответ: сонаправленные.

2) $\vec{d} = -\frac{3}{11}\vec{c}$

В данном случае векторы связаны соотношением $\vec{d} = k\vec{c}$ с коэффициентом $k = -\frac{3}{11}$.

Поскольку $k = -\frac{3}{11} < 0$, векторы $\vec{c}$ и $\vec{d}$ являются противоположно направленными.

Ответ: противоположно направленные.

53. Дан вектор $\vec{b}$ (-8; 20; 32). Найдите координаты вектора $\vec{c}$, если:

1) $\vec{c} = -2\vec{b}$;

2) $\vec{c} = \frac{3}{4}\vec{b}.$

53. Дан вектор $ \vec{b} $ (-8; 20; 32). Найдите координаты вектора $ \vec{c} $, если:

1) $ \vec{c} = -2\vec{b} $;

2) $ \vec{c} = \frac{3}{4}\vec{b} $.

По условию дан вектор $\vec{b}(-8; 20; 32)$. Чтобы найти координаты вектора $\vec{c}$, который получен умножением вектора $\vec{b}$ на некоторое число (скаляр) $k$, необходимо каждую координату вектора $\vec{b}$ умножить на это число. То есть, если $\vec{c} = k\vec{b}$, то координаты вектора $\vec{c}$ будут $(k \cdot b_x; k \cdot b_y; k \cdot b_z)$.

1) $\vec{c} = -2\vec{b}$

В этом случае скаляр $k = -2$. Умножим каждую координату вектора $\vec{b}$ на $-2$:
Первая координата: $-2 \cdot (-8) = 16$
Вторая координата: $-2 \cdot 20 = -40$
Третья координата: $-2 \cdot 32 = -64$
Следовательно, вектор $\vec{c}$ имеет координаты $(16; -40; -64)$.
Ответ: $\vec{c}(16; -40; -64)$.

2) $\vec{c} = \frac{3}{4}\vec{b}$

В этом случае скаляр $k = \frac{3}{4}$. Умножим каждую координату вектора $\vec{b}$ на $\frac{3}{4}$:
Первая координата: $\frac{3}{4} \cdot (-8) = 3 \cdot (-2) = -6$
Вторая координата: $\frac{3}{4} \cdot 20 = 3 \cdot 5 = 15$
Третья координата: $\frac{3}{4} \cdot 32 = 3 \cdot 8 = 24$
Следовательно, вектор $\vec{c}$ имеет координаты $(-6; 15; 24)$.
Ответ: $\vec{c}(-6; 15; 24)$.

54. Даны векторы $\vec{a} (2; -3; 4)$ и $\vec{b} (-1; 6; 2)$. Найдите ко-ординаты вектора c, если:

1) $\vec{c} = 3\vec{a} + 4\vec{b};$

2) $\vec{c} = -3\vec{a} - 2\vec{b}.$

54. Даны векторы $\vec{a} (2; -3; 4)$ и $\vec{b} (-1; 6; 2)$. Найдите координаты вектора $\vec{c}$, если:

1) $\vec{c} = 3\vec{a} + 4\vec{b};$

2) $\vec{c} = -3\vec{a} - 2\vec{b}.$

Даны векторы $\vec{a} (2; -3; 4)$ и $\vec{b} (-1; 6; 2)$.

Чтобы найти координаты вектора $\vec{c}$, нужно выполнить соответствующие операции с координатами исходных векторов. Умножение вектора на число означает умножение каждой его координаты на это число. Сложение или вычитание векторов означает сложение или вычитание их соответствующих координат.

1) $\vec{c} = 3\vec{a} + 4\vec{b}$

Сначала найдем координаты векторов $3\vec{a}$ и $4\vec{b}$:

$3\vec{a} = 3 \cdot (2; -3; 4) = (3 \cdot 2; 3 \cdot (-3); 3 \cdot 4) = (6; -9; 12)$

$4\vec{b} = 4 \cdot (-1; 6; 2) = (4 \cdot (-1); 4 \cdot 6; 4 \cdot 2) = (-4; 24; 8)$

Теперь сложим полученные векторы, чтобы найти координаты вектора $\vec{c}$:

$\vec{c} = (6; -9; 12) + (-4; 24; 8) = (6 + (-4); -9 + 24; 12 + 8) = (2; 15; 20)$

Ответ: $\vec{c}(2; 15; 20)$.

2) $\vec{c} = -3\vec{a} - 2\vec{b}$

Аналогично, найдем координаты векторов $-3\vec{a}$ и $2\vec{b}$:

$-3\vec{a} = -3 \cdot (2; -3; 4) = (-3 \cdot 2; -3 \cdot (-3); -3 \cdot 4) = (-6; 9; -12)$

$2\vec{b} = 2 \cdot (-1; 6; 2) = (2 \cdot (-1); 2 \cdot 6; 2 \cdot 2) = (-2; 12; 4)$

Теперь вычтем из координат вектора $-3\vec{a}$ соответствующие координаты вектора $2\vec{b}$:

$\vec{c} = (-6; 9; -12) - (-2; 12; 4) = (-6 - (-2); 9 - 12; -12 - 4) = (-4; -3; -16)$

Ответ: $\vec{c}(-4; -3; -16)$.

55. Найдите модуль вектора $ \vec{c} = -3\vec{a} + \vec{b} $, если $ \vec{a} (4; 0; -3), \vec{b} (4; -6; -3). $

55. Найдите модуль вектора $\vec{c} = -3\vec{a} + \vec{b}$, если $\vec{a} (4; 0; -3)$, $\vec{b} (4; -6; -3)$.

Для нахождения модуля вектора $\vec{c}$, сначала необходимо вычислить его координаты, используя данные координаты векторов $\vec{a}(4; 0; -3)$ и $\vec{b}(4; -6; -3)$.

1. Найдем координаты вектора $-3\vec{a}$. Для этого умножим каждую координату вектора $\vec{a}$ на скаляр $-3$:

$-3\vec{a} = (-3 \cdot 4; -3 \cdot 0; -3 \cdot (-3)) = (-12; 0; 9)$.

2. Теперь найдем координаты вектора $\vec{c}$, сложив соответствующие координаты векторов $-3\vec{a}$ и $\vec{b}$:

$\vec{c} = -3\vec{a} + \vec{b} = (-12 + 4; 0 + (-6); 9 + (-3)) = (-8; -6; 6)$.

3. Модуль (или длина) вектора $\vec{c}(x; y; z)$ вычисляется по формуле $|\vec{c}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$. Подставим в нее координаты вектора $\vec{c}(-8; -6; 6)$:

$|\vec{c}| = \sqrt{(-8)^2 + (-6)^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36 + 36} = \sqrt{136}$.

4. Упростим полученное значение:

$\sqrt{136} = \sqrt{4 \cdot 34} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{34} = 2\sqrt{34}$.

Ответ: $2\sqrt{34}$.

56. Коллинеарны ли векторы $\overrightarrow{MK}$ и $\overrightarrow{PN}$, если $M(6; 1; -2)$, $K(8; -2; 4)$, $P(2; 2; -14)$, $N(-8; 17; 16)$?

56. Коллинеарны ли векторы $\vec{MK}$ и $\vec{PN}$, если $M (6; 1; -2)$, $K (8; -2; 4)$, $P (2; 2; -14)$, $N (-8; 17; 16)$?

Для того чтобы определить, коллинеарны ли векторы, нужно найти их координаты и проверить, являются ли эти координаты пропорциональными.

Два вектора $\vec{a}(x_1; y_1; z_1)$ и $\vec{b}(x_2; y_2; z_2)$ коллинеарны, если существует такое число $k$, что $\vec{a} = k \cdot \vec{b}$. Это означает, что отношения их соответствующих координат должны быть равны:

$\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2} = \frac{z_1}{z_2}$

1. Найдем координаты вектора $\vec{MK}$

Координаты вектора равны разности соответствующих координат его конца и начала. Для точек $M(6; 1; -2)$ и $K(8; -2; 4)$ координаты вектора $\vec{MK}$ будут:

$\vec{MK} = (8 - 6; -2 - 1; 4 - (-2)) = (2; -3; 6)$

2. Найдем координаты вектора $\vec{PN}$

Аналогично для точек $P(2; 2; -14)$ и $N(-8; 17; 16)$ найдем координаты вектора $\vec{PN}$:

$\vec{PN} = (-8 - 2; 17 - 2; 16 - (-14)) = (-10; 15; 30)$

3. Проверим условие коллинеарности

Теперь проверим пропорциональность координат векторов $\vec{MK}(2; -3; 6)$ и $\vec{PN}(-10; 15; 30)$, составив отношения их соответствующих координат:

$\frac{-10}{2} = -5$

$\frac{15}{-3} = -5$

$\frac{30}{6} = 5$

Так как отношения координат не равны между собой ($-5 \neq 5$), условие коллинеарности не выполняется.

Ответ: векторы $\vec{MK}$ и $\vec{PN}$ не коллинеарны.

57. Найдите среди векторов $\vec{m} (4; -3; 5)$, $\vec{n} (-8; 6; -10)$, $\vec{p} (12; -9; 15)$ и $\vec{k} (-0.8; 0.6; -1)$ сонаправленные и противоположно направленные векторы.

57. Найдите среди векторов $\vec{m}$ (4; -3; 5), $\vec{n}$ (-8; 6; -10), $\vec{p}$ (12; -9; 15) и $\vec{k}$ (-0,8; 0,6; -1) сонаправленные и противоположно направленные векторы.

Два ненулевых вектора $\vec{a}(x_1; y_1; z_1)$ и $\vec{b}(x_2; y_2; z_2)$ являются коллинеарными, если их соответствующие координаты пропорциональны. Это означает, что существует такое число $k$, что $\vec{b} = k \cdot \vec{a}$, или в координатной форме: $\frac{x_2}{x_1} = \frac{y_2}{y_1} = \frac{z_2}{z_1} = k$.

В зависимости от знака коэффициента $k$ векторы могут быть:

• сонаправленными (направленными в одну сторону), если $k > 0$. Обозначается как $\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}$.
• противоположно направленными (направленными в разные стороны), если $k < 0$. Обозначается как $\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{b}$.

Для нахождения таких векторов среди данных $\vec{m}(4; -3; 5)$, $\vec{n}(-8; 6; -10)$, $\vec{p}(12; -9; 15)$ и $\vec{k}(-0,8; 0,6; -1)$ сравним их попарно, находя отношения их координат.

1. Сравним векторы $\vec{m}$ и $\vec{p}$:
$\frac{12}{4} = 3$; $\frac{-9}{-3} = 3$; $\frac{15}{5} = 3$.
Коэффициент пропорциональности $k = 3$. Так как $k > 0$, векторы $\vec{m}$ и $\vec{p}$ сонаправлены.

2. Сравним векторы $\vec{m}$ и $\vec{n}$:
$\frac{-8}{4} = -2$; $\frac{6}{-3} = -2$; $\frac{-10}{5} = -2$.
Коэффициент пропорциональности $k = -2$. Так как $k < 0$, векторы $\vec{m}$ и $\vec{n}$ противоположно направлены.

3. Сравним векторы $\vec{m}$ и $\vec{k}$:
$\frac{-0,8}{4} = -0,2$; $\frac{0,6}{-3} = -0,2$; $\frac{-1}{5} = -0,2$.
Коэффициент пропорциональности $k = -0,2$. Так как $k < 0$, векторы $\vec{m}$ и $\vec{k}$ противоположно направлены.

Теперь сгруппируем все пары векторов на основе полученных данных.

Сонаправленные векторы

В эту группу входят пары векторов, для которых коэффициент пропорциональности положителен.
• $\vec{m}$ и $\vec{p}$ (коэффициент $k=3$).
• $\vec{n}$ и $\vec{k}$. Поскольку оба этих вектора противоположно направлены вектору $\vec{m}$, они сонаправлены друг другу. Проверим это, найдя отношение их координат: $\frac{-0,8}{-8} = 0,1$; $\frac{0,6}{6} = 0,1$; $\frac{-1}{-10} = 0,1$. Коэффициент $k=0,1 > 0$.
Ответ: сонаправленными являются пары векторов: $\vec{m}$ и $\vec{p}$; $\vec{n}$ и $\vec{k}$.

Противоположно направленные векторы

В эту группу входят пары векторов, для которых коэффициент пропорциональности отрицателен.
• $\vec{m}$ и $\vec{n}$ (коэффициент $k=-2$).
• $\vec{m}$ и $\vec{k}$ (коэффициент $k=-0,2$).
• $\vec{p}$ и $\vec{n}$. Так как $\vec{p}$ сонаправлен $\vec{m}$, а $\vec{n}$ противоположно направлен $\vec{m}$, то $\vec{p}$ и $\vec{n}$ противоположно направлены. Коэффициент отношения их координат: $\frac{-8}{12} = -\frac{2}{3}$.
• $\vec{p}$ и $\vec{k}$. Аналогично, так как $\vec{p}$ сонаправлен $\vec{m}$, а $\vec{k}$ противоположно направлен $\vec{m}$, то $\vec{p}$ и $\vec{k}$ противоположно направлены. Коэффициент отношения их координат: $\frac{-0,8}{12} = -\frac{1}{15}$.
Ответ: противоположно направленными являются пары векторов: ($\vec{m}$, $\vec{n}$), ($\vec{m}$, $\vec{k}$), ($\vec{p}$, $\vec{n}$), ($\vec{p}$, $\vec{k}$).

58. Найдите значения $x$ и $y$, при которых векторы $\vec{a} (x; -8; 12)$ и $\vec{b} (24; y; -36)$ будут коллинеарными.

58. Найдите значения $x$ и $y$, при которых векторы $\vec{a} (x; -8; 12)$ и $\vec{b} (24; y; -36)$ будут коллинеарными.

Два ненулевых вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты пропорциональны. Это означает, что для векторов $\vec{a}(a_x; a_y; a_z)$ и $\vec{b}(b_x; b_y; b_z)$ существует такое число $k$, что $\vec{b} = k \cdot \vec{a}$, или, в координатной форме:

$\frac{b_x}{a_x} = \frac{b_y}{a_y} = \frac{b_z}{a_z} = k$

Даны векторы $\vec{a}(x; -8; 12)$ и $\vec{b}(24; y; -36)$.

Составим пропорцию для их координат:

$\frac{24}{x} = \frac{y}{-8} = \frac{-36}{12}$

Найдем коэффициент пропорциональности $k$ из отношения известных координат (аппликат):

$k = \frac{-36}{12} = -3$

Теперь мы можем использовать этот коэффициент, чтобы найти неизвестные $x$ и $y$.

Приравняем отношение абсцисс к коэффициенту $k$:

$\frac{24}{x} = -3$

Отсюда находим $x$:

$x = \frac{24}{-3} = -8$

Приравняем отношение ординат к коэффициенту $k$:

$\frac{y}{-8} = -3$

Отсюда находим $y$:

$y = -3 \cdot (-8) = 24$

Следовательно, значения, при которых векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны, равны $x = -8$ и $y = 24$.

Ответ: $x = -8$, $y = 24$.

59. Дан вектор $ \vec{n} (-3; 4; -5). $ Найдите координаты вектора $ \vec{m} $, сонаправленного с вектором $ \vec{n} $, если $ |\vec{m}| = 10\sqrt{2}. $

59. Дан вектор $\vec{n} (-3; 4; -5)$. Найдите координаты вектора $\vec{m}$, сонаправленного с вектором $\vec{n}$, если $|\vec{m}| = 10\sqrt{2}$.

По определению, два вектора $\vec{m}$ и $\vec{n}$ являются сонаправленными (коллинеарными и направленными в одну сторону), если существует такое положительное число $k$ ($k > 0$), что выполняется равенство $\vec{m} = k \cdot \vec{n}$.

Нам дан вектор $\vec{n}(-3; 4; -5)$. Пусть искомый вектор $\vec{m}$ имеет координаты $(x; y; z)$. Тогда:

$(x; y; z) = k \cdot (-3; 4; -5) = (-3k; 4k; -5k)$

Длина (модуль) вектора $\vec{m}$ вычисляется по формуле:

$|\vec{m}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$

Подставим координаты вектора $\vec{m}$ в эту формулу:

$|\vec{m}| = \sqrt{(-3k)^2 + (4k)^2 + (-5k)^2} = \sqrt{9k^2 + 16k^2 + 25k^2} = \sqrt{50k^2}$

Так как $k > 0$, то $\sqrt{k^2} = k$. Упростим корень из 50: $\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$.

Следовательно, длина вектора $\vec{m}$ равна:

$|\vec{m}| = \sqrt{50} \cdot \sqrt{k^2} = 5\sqrt{2} \cdot k$

По условию задачи, $|\vec{m}| = 10\sqrt{2}$. Приравняем полученное выражение к заданному значению и найдем $k$:

$5\sqrt{2} \cdot k = 10\sqrt{2}$

$k = \frac{10\sqrt{2}}{5\sqrt{2}} = 2$

Теперь, зная значение коэффициента $k$, мы можем найти координаты вектора $\vec{m}$:

$\vec{m} = (-3k; 4k; -5k) = (-3 \cdot 2; 4 \cdot 2; -5 \cdot 2) = (-6; 8; -10)$

Ответ: $(-6; 8; -10)$.

60. Докажите, что четырёхугольник $MPFK$ с вершинами $M(-2; 3; -5)$, $P(2; 5; 2)$, $F(4; 1; 6)$ и $K(-4; -3; -8)$ является трапецией.

60. Докажите, что четырёхугольник $MPFK$ с вершинами $M(-2; 3; -5)$, $P(2; 5; 2)$, $F(4; 1; 6)$ и $K(-4; -3; -8)$ является трапецией.

Для того чтобы доказать, что четырёхугольник MPFK является трапецией, необходимо показать, что у него есть ровно одна пара параллельных сторон. В трёхмерном пространстве две прямые параллельны, если их направляющие векторы коллинеарны.

Даны координаты вершин четырёхугольника:

M(-2; 3; -5)

P(2; 5; 2)

F(4; 1; 6)

K(-4; -3; -8)

Найдём координаты векторов, соответствующих сторонам четырёхугольника. Координаты вектора $\vec{AB}$ с началом в точке $A(x_A; y_A; z_A)$ и концом в точке $B(x_B; y_B; z_B)$ вычисляются по формуле: $\vec{AB} = \{x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A\}$.

Вектор $\vec{MP}$: $\vec{MP} = \{2 - (-2); 5 - 3; 2 - (-5)\} = \{4; 2; 7\}$

Вектор $\vec{PF}$: $\vec{PF} = \{4 - 2; 1 - 5; 6 - 2\} = \{2; -4; 4\}$

Вектор $\vec{FK}$: $\vec{FK} = \{-4 - 4; -3 - 1; -8 - 6\} = \{-8; -4; -14\}$

Вектор $\vec{KM}$: $\vec{KM} = \{-2 - (-4); 3 - (-3); -5 - (-8)\} = \{2; 6; 3\}$

Теперь проверим на коллинеарность векторы, соответствующие противолежащим сторонам. Два вектора $\vec{a} = \{x_1; y_1; z_1\}$ и $\vec{b} = \{x_2; y_2; z_2\}$ коллинеарны, если их соответствующие координаты пропорциональны, то есть существует такое число $k$, что $\vec{b} = k \cdot \vec{a}$.

Проверка коллинеарности векторов $\vec{MP}$ и $\vec{FK}$

Сравним координаты векторов $\vec{MP} = \{4; 2; 7\}$ и $\vec{FK} = \{-8; -4; -14\}$.

Найдём отношение их соответствующих координат:

$\frac{x_{FK}}{x_{MP}} = \frac{-8}{4} = -2$

$\frac{y_{FK}}{y_{MP}} = \frac{-4}{2} = -2$

$\frac{z_{FK}}{z_{MP}} = \frac{-14}{7} = -2$

Так как отношения всех соответствующих координат равны -2, то векторы коллинеарны: $\vec{FK} = -2\vec{MP}$. Следовательно, стороны MP и FK параллельны ($MP \parallel FK$).

Проверка коллинеарности векторов $\vec{PF}$ и $\vec{KM}$

Сравним координаты векторов $\vec{PF} = \{2; -4; 4\}$ и $\vec{KM} = \{2; 6; 3\}$.

Найдём отношение их соответствующих координат:

$\frac{x_{KM}}{x_{PF}} = \frac{2}{2} = 1$

$\frac{y_{KM}}{y_{PF}} = \frac{6}{-4} = -1.5$

$\frac{z_{KM}}{z_{PF}} = \frac{3}{4} = 0.75$

Так как отношения координат не равны между собой ($1 \neq -1.5 \neq 0.75$), векторы $\vec{PF}$ и $\vec{KM}$ не являются коллинеарными. Следовательно, стороны PF и KM не параллельны.

Поскольку у четырёхугольника MPFK одна пара противолежащих сторон (MP и FK) параллельна, а другая пара (PF и KM) не параллельна, то по определению он является трапецией. Что и требовалось доказать.

Ответ: Четырёхугольник MPFK является трапецией, так как доказано, что его стороны MP и FK параллельны, а стороны PF и KM не параллельны.

61. Используя векторы, определите, лежат ли точки $D (4; -2; -3)$, $E (5; 1; 1)$ и $F (7; 7; -7)$ на одной прямой.

61. Используя векторы, определите, лежат ли точки $D (4; -2; -3)$, $E (5; 1; 1)$ и $F (7; 7; -7)$ на одной прямой.

Чтобы определить, лежат ли три точки на одной прямой, можно использовать векторы. Три точки $D$, $E$ и $F$ лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда векторы, образованные этими точками (например, $\vec{DE}$ и $\vec{DF}$), коллинеарны. Векторы являются коллинеарными, если существует такое число $k$, что $\vec{DF} = k \cdot \vec{DE}$, то есть их соответствующие координаты пропорциональны.

Даны координаты точек: $D(4; -2; -3)$, $E(5; 1; 1)$ и $F(7; 7; -7)$.

1. Найдем координаты вектора $\vec{DE}$. Для этого из координат конца вектора (точки $E$) вычтем соответствующие координаты начала (точки $D$):
$\vec{DE} = (5 - 4; 1 - (-2); 1 - (-3)) = (1; 1 + 2; 1 + 3) = (1; 3; 4)$.

2. Аналогично найдем координаты вектора $\vec{DF}$:
$\vec{DF} = (7 - 4; 7 - (-2); -7 - (-3)) = (3; 7 + 2; -7 + 3) = (3; 9; -4)$.

3. Теперь проверим условие коллинеарности векторов $\vec{DE} = (1; 3; 4)$ и $\vec{DF} = (3; 9; -4)$. Для этого необходимо проверить, пропорциональны ли их соответствующие координаты. Составим отношения координат:
$\frac{3}{1} = 3$ (отношение по оси x)
$\frac{9}{3} = 3$ (отношение по оси y)
$\frac{-4}{4} = -1$ (отношение по оси z)

Так как полученные отношения не равны между собой ($3 = 3 \ne -1$), то координаты векторов не пропорциональны. Следовательно, векторы $\vec{DE}$ и $\vec{DF}$ не коллинеарны, а значит, точки $D$, $E$ и $F$ не лежат на одной прямой.

Ответ: точки $D$, $E$ и $F$ не лежат на одной прямой.

62. Дан параллелепипед ABCDA_1B_1C_1D_1. Выразите вектор $\vec{A_1C}$ через векторы $\vec{AB}$, $\vec{AD}$ и $\vec{AA_1}$.

62. Дан параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$, Выразите вектор $\vec{A_1C}$ через векторы $\vec{AB}$, $\vec{AD}$ и $\vec{AA_1}$.

Чтобы выразить вектор $\vec{A_1C}$ через векторы $\vec{AB}$, $\vec{AD}$ и $\vec{AA_1}$, воспользуемся правилом сложения векторов. Представим вектор $\vec{A_1C}$ как сумму векторов, составляющих путь из начальной точки $A_1$ в конечную точку $C$. Удобно выбрать путь, проходящий через точку $A$.

По правилу треугольника для сложения векторов, мы можем записать:

$\vec{A_1C} = \vec{A_1A} + \vec{AC}$

Теперь необходимо выразить векторы $\vec{A_1A}$ и $\vec{AC}$ через заданные в условии векторы $\vec{AB}$, $\vec{AD}$ и $\vec{AA_1}$.

1. Вектор $\vec{A_1A}$ направлен в сторону, противоположную вектору $\vec{AA_1}$, при этом их длины равны. Следовательно:

$\vec{A_1A} = -\vec{AA_1}$

2. Вектор $\vec{AC}$ является диагональю основания параллелепипеда — параллелограмма $ABCD$. По правилу параллелограмма для сложения векторов, вектор диагонали равен сумме векторов двух смежных сторон, выходящих из той же вершины:

$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}$

Теперь подставим полученные выражения для векторов $\vec{A_1A}$ и $\vec{AC}$ в исходное равенство:

$\vec{A_1C} = (-\vec{AA_1}) + (\vec{AB} + \vec{AD})$

Раскрыв скобки и перегруппировав слагаемые, получим окончательное выражение:

$\vec{A_1C} = \vec{AB} + \vec{AD} - \vec{AA_1}$

Ответ: $\vec{A_1C} = \vec{AB} + \vec{AD} - \vec{AA_1}$.