Номер 57, страница 45 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

57. Найдите среди векторов $\vec{m} (4; -3; 5)$, $\vec{n} (-8; 6; -10)$, $\vec{p} (12; -9; 15)$ и $\vec{k} (-0.8; 0.6; -1)$ сонаправленные и противоположно направленные векторы.

57. Найдите среди векторов $\vec{m}$ (4; -3; 5), $\vec{n}$ (-8; 6; -10), $\vec{p}$ (12; -9; 15) и $\vec{k}$ (-0,8; 0,6; -1) сонаправленные и противоположно направленные векторы.

Два ненулевых вектора $\vec{a}(x_1; y_1; z_1)$ и $\vec{b}(x_2; y_2; z_2)$ являются коллинеарными, если их соответствующие координаты пропорциональны. Это означает, что существует такое число $k$, что $\vec{b} = k \cdot \vec{a}$, или в координатной форме: $\frac{x_2}{x_1} = \frac{y_2}{y_1} = \frac{z_2}{z_1} = k$.

В зависимости от знака коэффициента $k$ векторы могут быть:

• сонаправленными (направленными в одну сторону), если $k > 0$. Обозначается как $\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}$.
• противоположно направленными (направленными в разные стороны), если $k < 0$. Обозначается как $\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{b}$.

Для нахождения таких векторов среди данных $\vec{m}(4; -3; 5)$, $\vec{n}(-8; 6; -10)$, $\vec{p}(12; -9; 15)$ и $\vec{k}(-0,8; 0,6; -1)$ сравним их попарно, находя отношения их координат.

1. Сравним векторы $\vec{m}$ и $\vec{p}$:
$\frac{12}{4} = 3$; $\frac{-9}{-3} = 3$; $\frac{15}{5} = 3$.
Коэффициент пропорциональности $k = 3$. Так как $k > 0$, векторы $\vec{m}$ и $\vec{p}$ сонаправлены.

2. Сравним векторы $\vec{m}$ и $\vec{n}$:
$\frac{-8}{4} = -2$; $\frac{6}{-3} = -2$; $\frac{-10}{5} = -2$.
Коэффициент пропорциональности $k = -2$. Так как $k < 0$, векторы $\vec{m}$ и $\vec{n}$ противоположно направлены.

3. Сравним векторы $\vec{m}$ и $\vec{k}$:
$\frac{-0,8}{4} = -0,2$; $\frac{0,6}{-3} = -0,2$; $\frac{-1}{5} = -0,2$.
Коэффициент пропорциональности $k = -0,2$. Так как $k < 0$, векторы $\vec{m}$ и $\vec{k}$ противоположно направлены.

Теперь сгруппируем все пары векторов на основе полученных данных.

Сонаправленные векторы

В эту группу входят пары векторов, для которых коэффициент пропорциональности положителен.
• $\vec{m}$ и $\vec{p}$ (коэффициент $k=3$).
• $\vec{n}$ и $\vec{k}$. Поскольку оба этих вектора противоположно направлены вектору $\vec{m}$, они сонаправлены друг другу. Проверим это, найдя отношение их координат: $\frac{-0,8}{-8} = 0,1$; $\frac{0,6}{6} = 0,1$; $\frac{-1}{-10} = 0,1$. Коэффициент $k=0,1 > 0$.
Ответ: сонаправленными являются пары векторов: $\vec{m}$ и $\vec{p}$; $\vec{n}$ и $\vec{k}$.

Противоположно направленные векторы

В эту группу входят пары векторов, для которых коэффициент пропорциональности отрицателен.
• $\vec{m}$ и $\vec{n}$ (коэффициент $k=-2$).
• $\vec{m}$ и $\vec{k}$ (коэффициент $k=-0,2$).
• $\vec{p}$ и $\vec{n}$. Так как $\vec{p}$ сонаправлен $\vec{m}$, а $\vec{n}$ противоположно направлен $\vec{m}$, то $\vec{p}$ и $\vec{n}$ противоположно направлены. Коэффициент отношения их координат: $\frac{-8}{12} = -\frac{2}{3}$.
• $\vec{p}$ и $\vec{k}$. Аналогично, так как $\vec{p}$ сонаправлен $\vec{m}$, а $\vec{k}$ противоположно направлен $\vec{m}$, то $\vec{p}$ и $\vec{k}$ противоположно направлены. Коэффициент отношения их координат: $\frac{-0,8}{12} = -\frac{1}{15}$.
Ответ: противоположно направленными являются пары векторов: ($\vec{m}$, $\vec{n}$), ($\vec{m}$, $\vec{k}$), ($\vec{p}$, $\vec{n}$), ($\vec{p}$, $\vec{k}$).