Номер 61, страница 45 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

61. Используя векторы, определите, лежат ли точки $D (4; -2; -3)$, $E (5; 1; 1)$ и $F (7; 7; -7)$ на одной прямой.

61. Используя векторы, определите, лежат ли точки $D (4; -2; -3)$, $E (5; 1; 1)$ и $F (7; 7; -7)$ на одной прямой.

Чтобы определить, лежат ли три точки на одной прямой, можно использовать векторы. Три точки $D$, $E$ и $F$ лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда векторы, образованные этими точками (например, $\vec{DE}$ и $\vec{DF}$), коллинеарны. Векторы являются коллинеарными, если существует такое число $k$, что $\vec{DF} = k \cdot \vec{DE}$, то есть их соответствующие координаты пропорциональны.

Даны координаты точек: $D(4; -2; -3)$, $E(5; 1; 1)$ и $F(7; 7; -7)$.

1. Найдем координаты вектора $\vec{DE}$. Для этого из координат конца вектора (точки $E$) вычтем соответствующие координаты начала (точки $D$):
$\vec{DE} = (5 - 4; 1 - (-2); 1 - (-3)) = (1; 1 + 2; 1 + 3) = (1; 3; 4)$.

2. Аналогично найдем координаты вектора $\vec{DF}$:
$\vec{DF} = (7 - 4; 7 - (-2); -7 - (-3)) = (3; 7 + 2; -7 + 3) = (3; 9; -4)$.

3. Теперь проверим условие коллинеарности векторов $\vec{DE} = (1; 3; 4)$ и $\vec{DF} = (3; 9; -4)$. Для этого необходимо проверить, пропорциональны ли их соответствующие координаты. Составим отношения координат:
$\frac{3}{1} = 3$ (отношение по оси x)
$\frac{9}{3} = 3$ (отношение по оси y)
$\frac{-4}{4} = -1$ (отношение по оси z)

Так как полученные отношения не равны между собой ($3 = 3 \ne -1$), то координаты векторов не пропорциональны. Следовательно, векторы $\vec{DE}$ и $\vec{DF}$ не коллинеарны, а значит, точки $D$, $E$ и $F$ не лежат на одной прямой.

Ответ: точки $D$, $E$ и $F$ не лежат на одной прямой.