Номер 60, страница 45 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

60. Докажите, что четырёхугольник $MPFK$ с вершинами $M(-2; 3; -5)$, $P(2; 5; 2)$, $F(4; 1; 6)$ и $K(-4; -3; -8)$ является трапецией.

60. Докажите, что четырёхугольник $MPFK$ с вершинами $M(-2; 3; -5)$, $P(2; 5; 2)$, $F(4; 1; 6)$ и $K(-4; -3; -8)$ является трапецией.

Для того чтобы доказать, что четырёхугольник MPFK является трапецией, необходимо показать, что у него есть ровно одна пара параллельных сторон. В трёхмерном пространстве две прямые параллельны, если их направляющие векторы коллинеарны.

Даны координаты вершин четырёхугольника:

M(-2; 3; -5)

P(2; 5; 2)

F(4; 1; 6)

K(-4; -3; -8)

Найдём координаты векторов, соответствующих сторонам четырёхугольника. Координаты вектора $\vec{AB}$ с началом в точке $A(x_A; y_A; z_A)$ и концом в точке $B(x_B; y_B; z_B)$ вычисляются по формуле: $\vec{AB} = \{x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A\}$.

Вектор $\vec{MP}$: $\vec{MP} = \{2 - (-2); 5 - 3; 2 - (-5)\} = \{4; 2; 7\}$

Вектор $\vec{PF}$: $\vec{PF} = \{4 - 2; 1 - 5; 6 - 2\} = \{2; -4; 4\}$

Вектор $\vec{FK}$: $\vec{FK} = \{-4 - 4; -3 - 1; -8 - 6\} = \{-8; -4; -14\}$

Вектор $\vec{KM}$: $\vec{KM} = \{-2 - (-4); 3 - (-3); -5 - (-8)\} = \{2; 6; 3\}$

Теперь проверим на коллинеарность векторы, соответствующие противолежащим сторонам. Два вектора $\vec{a} = \{x_1; y_1; z_1\}$ и $\vec{b} = \{x_2; y_2; z_2\}$ коллинеарны, если их соответствующие координаты пропорциональны, то есть существует такое число $k$, что $\vec{b} = k \cdot \vec{a}$.

Проверка коллинеарности векторов $\vec{MP}$ и $\vec{FK}$

Сравним координаты векторов $\vec{MP} = \{4; 2; 7\}$ и $\vec{FK} = \{-8; -4; -14\}$.

Найдём отношение их соответствующих координат:

$\frac{x_{FK}}{x_{MP}} = \frac{-8}{4} = -2$

$\frac{y_{FK}}{y_{MP}} = \frac{-4}{2} = -2$

$\frac{z_{FK}}{z_{MP}} = \frac{-14}{7} = -2$

Так как отношения всех соответствующих координат равны -2, то векторы коллинеарны: $\vec{FK} = -2\vec{MP}$. Следовательно, стороны MP и FK параллельны ($MP \parallel FK$).

Проверка коллинеарности векторов $\vec{PF}$ и $\vec{KM}$

Сравним координаты векторов $\vec{PF} = \{2; -4; 4\}$ и $\vec{KM} = \{2; 6; 3\}$.

Найдём отношение их соответствующих координат:

$\frac{x_{KM}}{x_{PF}} = \frac{2}{2} = 1$

$\frac{y_{KM}}{y_{PF}} = \frac{6}{-4} = -1.5$

$\frac{z_{KM}}{z_{PF}} = \frac{3}{4} = 0.75$

Так как отношения координат не равны между собой ($1 \neq -1.5 \neq 0.75$), векторы $\vec{PF}$ и $\vec{KM}$ не являются коллинеарными. Следовательно, стороны PF и KM не параллельны.

Поскольку у четырёхугольника MPFK одна пара противолежащих сторон (MP и FK) параллельна, а другая пара (PF и KM) не параллельна, то по определению он является трапецией. Что и требовалось доказать.

Ответ: Четырёхугольник MPFK является трапецией, так как доказано, что его стороны MP и FK параллельны, а стороны PF и KM не параллельны.