Номер 50, страница 44 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

50. Дан параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Выразите вектор $\vec{B_1C}$ через векторы $\vec{AA_1}$, $\vec{AB_1}$ и $\vec{AC_1}$.

50. Дан параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Выразите вектор $\vec{B_1C}$ через векторы $\vec{AA_1}$, $\vec{AB_1}$ и $\vec{AC_1}$.

Для решения задачи представим искомый вектор $\vec{B_1C}$ в виде суммы (разности) других векторов, следуя по ребрам и диагоналям параллелепипеда. Воспользуемся правилом разности векторов, выходящих из одной точки:

$\vec{B_1C} = \vec{AC} - \vec{AB_1}$

Это не совсем так, так как правило разности $\vec{XY} = \vec{OY} - \vec{OX}$. Лучше использовать правило треугольника. Представим вектор $\vec{B_1C}$ как путь из точки $B_1$ в точку $C$:

$\vec{B_1C} = \vec{B_1A} + \vec{AC}$

Теперь нам нужно выразить векторы $\vec{B_1A}$ и $\vec{AC}$ через заданные в условии векторы $\vec{AA_1}$, $\vec{AB_1}$ и $\vec{AC_1}$.

1. Выразим вектор $\vec{B_1A}$. По правилу треугольника для векторов $\vec{AA_1}$, $\vec{AB_1}$ и $\vec{B_1A}$ в треугольнике $AA_1B_1$ имеем:

$\vec{AB_1} = \vec{AA_1} + \vec{A_1B_1}$

Поскольку $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — параллелепипед, то $\vec{A_1B_1} = \vec{AB}$. Вектор $\vec{B_1A}$ можно представить как $\vec{B_1A_1} + \vec{A_1A}$.

Рассмотрим контур $A \to B_1 \to A_1 \to A$:

$\vec{AB_1} + \vec{B_1A_1} + \vec{A_1A} = \vec{0}$

$\vec{AB_1} - \vec{A_1B_1} - \vec{AA_1} = \vec{0}$

$\vec{AB_1} - \vec{AB} - \vec{AA_1} = \vec{0}$

Рассмотрим вектор $\vec{B_1A} = \vec{BA} + \vec{BB_1} = -\vec{AB} + \vec{AA_1}$.

Из выражения $\vec{AB_1} = \vec{AB} + \vec{AA_1}$ следует, что $\vec{AB} = \vec{AB_1} - \vec{AA_1}$.

Тогда $\vec{B_1A} = -(\vec{AB_1} - \vec{AA_1}) + \vec{AA_1} = -\vec{AB_1} + 2\vec{AA_1}$. Это неверный путь, он усложняет задачу. Попробуем иначе.

Представим искомый вектор $\vec{B_1C}$ через векторы с общим началом в точке A:

$\vec{B_1C} = \vec{AC} - \vec{AB_1}$

Теперь необходимо выразить $\vec{AC}$ через заданные векторы. Рассмотрим диагональ параллелепипеда $\vec{AC_1}$. По правилу параллелепипеда:

$\vec{AC_1} = \vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1}$

По правилу параллелограмма для основания $ABCD$:

$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}$

Из этих двух равенств следует:

$\vec{AC_1} = \vec{AC} + \vec{AA_1}$, откуда $\vec{AC} = \vec{AC_1} - \vec{AA_1}$.

Теперь подставим полученное выражение для $\vec{AC}$ в формулу для $\vec{B_1C}$:

$\vec{B_1C} = (\vec{AC_1} - \vec{AA_1}) - \vec{AB_1}$

$\vec{B_1C} = \vec{AC_1} - \vec{AA_1} - \vec{AB_1}$

Мы выразили искомый вектор через три заданных вектора.

Ответ: $\vec{B_1C} = \vec{AC_1} - \vec{AA_1} - \vec{AB_1}$.