Номер 48, страница 44 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Чтобы найти сумму векторов $\vec{S} = \vec{A_1C_1} + \vec{DA} + \vec{DD_1} + \vec{CB} + \vec{BA}$, воспользуемся свойствами векторов в параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

В параллелепипеде векторы, соответствующие параллельным и равным по длине отрезкам (ребрам, диагоналям), равны. Это позволяет нам заменить некоторые векторы в сумме на более удобные для сложения.
1. Грани $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ — равные и параллельные параллелограммы, поэтому их соответствующие диагонали равны: $\vec{A_1C_1} = \vec{AC}$.
2. В параллелограмме основания $ABCD$ противоположные стороны равны и параллельны, поэтому $\vec{CB} = \vec{DA}$.

Подставим эти равенства в исходное выражение:
$\vec{S} = \vec{AC} + \vec{DA} + \vec{DD_1} + \vec{DA} + \vec{BA}$

Теперь сгруппируем слагаемые, чтобы применить правило треугольника для сложения векторов (сумма векторов $\vec{XY}$ и $\vec{YZ}$ равна вектору $\vec{XZ}$):
$\vec{S} = (\vec{BA} + \vec{AC}) + (\vec{DA} + \vec{DA}) + \vec{DD_1}$

Применив правило треугольника к первым двум слагаемым, получаем: $\vec{BA} + \vec{AC} = \vec{BC}$.
Выражение для суммы принимает вид:
$\vec{S} = \vec{BC} + 2\vec{DA} + \vec{DD_1}$

В параллелограмме $ABCD$ векторы $\vec{BC}$ и $\vec{DA}$ являются противоположными, так как $\vec{BC} = \vec{AD}$, а $\vec{AD} = -\vec{DA}$. Следовательно, $\vec{BC} = -\vec{DA}$.
Заменим $\vec{BC}$ в сумме:
$\vec{S} = (-\vec{DA}) + 2\vec{DA} + \vec{DD_1} = \vec{DA} + \vec{DD_1}$

Для нахождения итогового вектора $\vec{DA} + \vec{DD_1}$ снова применим правило треугольника. В грани $ADD_1A_1$ вектор $\vec{DA}$ равен вектору $\vec{D_1A_1}$.
$\vec{S} = \vec{DD_1} + \vec{DA} = \vec{DD_1} + \vec{D_1A_1}$
Сумма векторов $\vec{DD_1}$ и $\vec{D_1A_1}$ по правилу треугольника равна вектору, который соединяет начало первого вектора (точку D) и конец второго (точку $A_1$).
$\vec{DD_1} + \vec{D_1A_1} = \vec{DA_1}$

Ответ: $\vec{DA_1}$